5.7. Идентификация кинематических параметров движения МПО

Линейные оптимальные системы с регуляторами состояния обладают рядом положительных свойств. Их использование для управления движением морских подвижных объектов позволяет получить высокую точность стабилизации, хорошие динамические характеристики при маневрировании, обеспечивает благоприятные условия работы механизмов исполнительных органов. Эти регуляторы являются весьма грубыми, т. е, в основном сохраняют свои свойства при разбросе параметров управляемого объекта. Однако это достигается благодаря полному и точному измерению вектора состояния. К сожалению, существующее информационное обеспечение МПО не позволяет точно измерить все кинематические параметры движения. Наибольшие трудности связаны с определением параметров поступательного движения: координат центра масс, проекций скорости движения, углов атаки и дрейфа. Поэтому измерение вектора состояния МПО является неполным. Оно также и неточное, так как измерение координат движения осуществляется с ошибками в условиях помех, которые, как правило, носят случайный характер.

Для реализации регуляторов состояния при неполных и неточных измерениях в состав системы управления движением включают специальные динамические устройства идентификаторы состояния (или наблюдатели), которые на основе математической модели неизменяемой части системы и измеряемого вектора состояния, во-первых, восстанавливают неизмеряемые переменные состояния и, во-вторых, фильтруют помехи измерения,

Существуют идентификаторы полного порядка и редуцированные. Первые восстанавливают все переменные состояния, вторые только неизмеряемые.

На выходе идентификатора получаются оценки , отличающиеся от переменных состояния на величину ошибки восстановления:

.

Восстановление вектора состояния принципиально возможно, если линейная математическая модель объекта, используемая при построении идентификатора

где - вектор помех измерения; - измеряемый вектор состояния, содержащий элементов ; - матрица размером ,

характеризующая информационное обеспечение системы, удовлетворяет условию наблюдаемости, которое отражает наличие взаимосвязи между измеряемыми и неизмеряемыми переменными.

Пусть, при полном измерении всех переменных состояния . Если измерение частичное, то полный вектор состояния распадается на две части: измеряемую и неизмеряемую

откуда и , причем нетрудно убедиться, что матрицы образуются разбиением единичной матрицы

и поэтому каждая из них содержит одинаковое число и , но, в общем случае, разное количество строк: имеет строк, строк.

Рис. 5.6. Структура наблюдателя полного порядка.

Рассмотрим структуру наблюдателя полного порядка. С помощью математической модели объекта

располагая сигналами управления , можно определить оценку всего вектора состояния . Для повышения точности восстановления в наблюдателе организуется обратная связь по рассогласованию измеренного вектора и восстановленного . Структура наблюдателя представлена на рис. 5.6, а его уравнение имеет вид

Размерность уравнения (5.61) равна порядок наблюдателя совпадает с порядком объекта. Прямоугольная матрица размером определяет коэффициенты обратных связей. При известных параметрах исходной модели синтез наблюдателя сводится к определению элементов матрицы .

Пример 5.6. Определим структуру наблюдателя полного порядка для восстановления угла дрейфа МПО, линейная модель которого

и измеряются углы рыскания и перекладки руля а также угловая скорость . Тогда.

Уравнение наблюдателя

приводит к структурной схеме, изображенной на рис. 5.7.

Наблюдатель полного порядка восстанавливает переменные состояния системы с определенными ошибками. Уравнение ошибок восстановления можно получить из основного соотношения

путем дифференцирования

с последующей подстановкой уравнений (5.60) и (5.61).

После несложных преобразований:

Решение этого матричного линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка с постоянными коэффициентами состоит из свободной и вынужденной составляющих:

Первая составляющая характеризует динамическую погрешность наблюдателя. Она определяется с точностью до постоянных интегрирования на основании решения однородного дифференциального уравнения

Рис. 5.7. Наблюдатель полного порядка для восстановления угла дрейфа МПО.

в виде

Время существования динамических ошибок, их форма, частота, и скорость затухания зависят от расположения в комплексной плоскости корней характеристического полинома

которые являются собственными частотами идентификатора состояния. Если исходная модель объекта (5.60), характеризуемая матрицами и полностью наблюдаема, то изменением коэффициентов обратных связей наблюдателя (матрица ) можно добиться любых корней характеристического полинома. Смещая их влево от мнимой оси путем увеличения коэффициентов усиления добиваются быстрого затухания переходных процессов в наблюдателе, повышая тем самым динамическую точность восстановления кинематических параметров движения в системе управления МПО.

Помимо динамической погрешности существует стационарная ошибка наблюдателя, которая определяется вынужденной составляющей и зависит от вида функций и , формирующих правую часть уравнения (5.62). В общем случае как возмущения, действующие на объект так и шумы измерения носят случайный характер. Поэтому для расчета требуется аппарат случайных функций. Сделав предположение о стационарном характере и , можно

в явном виде установить связь математических ожиданий погрешности восстановления , внешнего возмущения и шумов :

Анализ соотношения (5.63) показывает, что при больших коэффициентах обратных связей идентификатора доля внешних возмущений в постоянной стационарной ошибке уменьшается, но растет относительное влияние ошибок измерения. При этому улучшается свойство наблюдателя восстанавливать неизмеряемые переменные состояния, но одновременно снижается его способность фильтровать шумы датчиков кинематических параметров движения МПО.

Включение в состав оптимальной линейной системы идентификатора состояния полного порядка можно осуществить двумя способами. В первом варианте на все входы регулятора с выхода наблюдателя подаются оценки вектора состояния (рис. 5.8, а). Можно также от наблюдателя на регулятор подавать оценки только неизмеряемых переменных, а измеряемые непосредственно получать от датчиков кинематических параметров движения (рис. 5.8, б).

В состав функциональной схемы на рис. 5.8 входят: неизменяемая часть системы НЧС с математической моделью (5.60), идентификатор состояния описываемый уравнением (5.61), и регулятор состояния реализующий закон управления (вариант ) или

(вариант )

где - вектор оценок неизмеряемых переменных состояния, - матрица, выделяющая из вектора состояния неизмеряемые переменные.

Рассматриваемая структура системы управления характеризуется следующими особенностями.

Рис. 5.8. Оптимальная линейная система с наблюдателем полного порядка.

Во-первых, порядок дифференциальных уравнений, описывающих свободные процессы в замкнутой системе складываются из порядка неизменяемой части системы и порядка идентификатора. При использовании наблюдателя полного порядка происходит удвоение размерности математической модели замкнутой системы. Поэтому восстановление кинематических параметров связано с ухудшением динамических свойств системы управления движением МПО.

Во-вторых, собственные частоты системы с идентификатором образуются характеристическими числами оптимальной линейной системы и отдельно рассматриваемого наблюдателя. Это свойство известно как теорема разделения. Докажем ее для системы, структура которой изображена на рис. 5.8, а.

Свободные процессы в замкнутой системе описываются однородными матричными уравнениями, получаемыми на основании математических моделей НЧС, ИС и Р:

После тождественных преобразований, связанных с заменой переменных , можно получить систему уравнений, эквивалентную исходной (5.64):

характеристическии определитель которой

образуется произведением

Первый сомножитель

является характеристическим определителем оптимальной линейной системы, и его корни являются ее собственными частотами. Второй

с корнями характеризует собственные динамические свойства идентификатора состояния. Следовательно,

что подтверждает достоверность теоремы разделения. Аналогично может быть доказана ее справедливость при структуре системы, изображенной на рис. 5.8, б, а также при использовании редуцированного наблюдателя. Теорема разделения является весьма полезной при синтезе систем с идентификаторами состояния, так как показывает возможность раздельного расчета параметров оптимальной линейной системы и наблюдателя. Если регулятор состояния и наблюдатель устойчивы, т. е. собственные частоты располагаются в комплексной плоскости слева от мнимой оси, то замкнутая система с идентификатором также будет устойчивой.

Однако наложение собственных частот происходит только в том случае, если характристики НЧС в точности соответствуют элементам матриц , которые определяют параметры наблюдателя. На практике всегда существует расхождение между характеристиками морского подвижного объекта и параметрами его линейной математической модели. Степень влияния этого несовпадения должна быть дополнительно исследована. Опыт проектирования систем с наблюдателями показывает, что они весьма чувствительны к достоверности исходной математической модели вплоть до потери устойчивости. Грубость системы снижается по мере роста числа восстанавливаемых переменных. Лучшие результаты достигаются, когда измеряемые координаты непосредственно подаются на регулятор (вариант ), хотя при этом не удается фильтровать помехи измерений. Существенное же улучшение свойств систем при восстановлении переменных состояния можно получить с помощью адаптивных наблюдателей.

Стремление улучшить динамические свойства и повысить грубость замкнутой системы за счет снижения порядка идентификатора привело к разработке редуцированных наблюдателей, восстанавливающих только неизмеряемые координаты.

Полный вектор состояния системы включает в себя измеряемых переменных, образующих вектор и - неизмеряемых, которые составляют вектор где и - матрицы размером соответственно. Эти соотношения можно также записать в виде:

Структура наблюдателя для восстановления неизмеряемой части вектора состояния формируется на основе линейной математической модели неизменяемой части системы:

Уравнение (5.65) превращается в модель наблюдателя только в том случае, если оно будет дополнено членом, учитывающим рассогласование измеряемых переменных и их оценок, как это имело место в наблюдателе полного порядка. Однако организовать обратную связь вида в редуцированном наблюдателе невозможно, так как в нем не формируется оценка измеряемых переменных. Условие минимизации рассогласования приходится вводить в (5.65) косвенным путем на основе соотношений:

Рис. 5.9. Редуцированный наблюдатель для восстановления угла дрейфа МПО.

И далее

Достижение в уравнении наблюдателя условия (5.66) реализуется через дополнительное слагаемое с матрицей усиления

Однако практическая реализация наблюдателя на основе (5.67) затруднена необходимостью дифференцирования подаваемых на его вход измеряемых переменных. Исключить эту операцию можно с помощью новой векторной переменной

После тождественных преобразований математическая модель редуцированного наблюдателя приобретает вид:

Уравнения (5.68) показывают, что восстановление происходит по измеряемым переменным и сигналам управления в динамическом устройстве, порядок которого равен количеству неизмеряемых переменных состояния.

Пример 5.7. На основании исходных данных примера 5.6 определим структуру редуцированного наблюдателя для восстановления угла дрейфа МПО. Дополнительные исходные данные для расчета редуцированного наблюдателя:

Промежуточные результаты:

Уравнение наблюдателя:

Структурная схема редуцированного наблюдателя дрейфа приведена рис. 5.9. На ней обозначено: