5.3. Оптимальная линейная система. Регулятор состояния

Определим оптимальное управление линейным объектом, при котором обеспечивается минимум дисперсионного критерия качества, учитывающего затраты на управление в условиях широкополосного возмущения, характеристики которого имеют вид белого шума, Используем принцип максимума для решения эквивалентной детерминированной задачи, учитывая, что модель неизменяемой части системы в этом случае не содержит возмущения

и минимизируется среднеквадратичный функционал

Начальное состояние системы произвольное, конечное выражает требование устойчивости оптимальной системы и сходимость функционала (5.18).

При этих исходных данных функция Гамильтона имеет вид

Необходимое условие оптимального управления

откуда

Так как , то достаточным условием оптимальности управления (5.19) является положительная определенность весовой матрицы .

Для определения сигналов управления необходимо знать вспомогательный вектор . Его можно найти путем совместного решения основной системы уравнений (5.17) с учетом управления и сопряженной, получаемой по условию (5.10). Образуемая при этом автономная система дифференциальных уравнений порядка имеет вид

Ее решение формируется на основе фундаментальной матрицы (матричной экспоненты)

где - матрица параметров основной и сопряженной систем уравнений (5.20).

Выражение (5.21) показывает, что при оптимальном управлении основной и вспомогательный векторы состояния системы изменяются подобным образом. Можно доказать существование единственной квадратной матрицы подобия размером , которая устанавливает связь этих векторов:

Чтобы показать справедливость (5,22), используем общее решение однородной системы дифференциальных-уравнений (5.20) в развернутой форме

где - компоненты векторов ; - постоянные интегрирования; - собственные числа матрицы П, являющиеся корнями характеристического полинома

Полином (5.24) - четный согласно виду диагональных членов определителя. Его корни в комплексной плоскости располагаются симметрично относительно мнимой оси (рис. 5.2). Поэтому в общем решении (5.23) можно выделить затухающие составляющие, соответствующие корням левой полуплоскости и незатухающие с корнями правой полускости. При отсутствии кратных корней их можно записать в виде

Рис. 5.2. Полюса оптимальной линейной системы.

Запишем в развернутой форме также (5.22)

откуда

и после подстановки (5,25) в (5.26) получим

Условие (5.27) следует выполнять для любого момента времени. Поэтому коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степени в левой и правой частях (5.27) должны быть равны

Выражение. (5.28) представляет собой систему неоднородных линейных алгебраических уравнений, в которой число неизвестных элементов - строки матрицы подобия. Но в связи с симметрией корней симметричными оказываются и постоянные интегрирования и . Поэтому среди уравнений (5.28) только независимых, которые образуют совместную систему. При ненулевом определителе, что при разных корнях характеристического полинома обеспечивается всегда, эта система уравнений является невырожденной и имеет единственное решение.

Путем вариации номера строки , можно получить систем уравнений вида (5.28). Следовательно, с учетом требования отсутствия кратных характеристических чисел однозначно определяются все элементы матрицы . Тем самым объясняется факт существования, единственности и размерности матрицы подобия. Существует более строгое доказательство этого положения, которое снимает ограничение на вид характеристических чисел оптимальной линейной системы и допускает существование кратных корней, определяя безусловное существование, единственность и форму аддитивной связи между вектором состояния и сопряженным ему вектором.

Использовав (5.22) и подставив его в (5.19), получим выражение которое определяет структуру оптимальной линейной системы управления (рис. 5.3, а) с постоянными коэффициентами обратных связей, соответствующими элементам матрицы размером .

Особенность структуры обратных связей (рис. 5.3, б) заключается в том, что каждый из сигналов управления формируется всеми компонентами вектора состояния

.

Регуляторы этого типа называют регуляторами полной структуры, или регуляторами состояния. Для их реализации требуется полное и точное измерение вектора состояния системы.

Линейная система управления оказывается оптимальной только при соблюдении двух условий: линейной неизменяемой части системы вида (5.17) и среднеквадратичном критерии качества (5.18), который включает все сигналы управления.

Рис. 5.3. Структура оптимальной линейной системы.

Исключение из функционала хотя бы одного сигнала управления делает оптимальную систему управления линейным объектом нелинейной.

Пример 5.2. Определим структуру оптимальной системы автоматической стабилизации путевого угла морского подвижного объекта, линейная модель неизменяемой части которого представлена уравнениями движения рыскания МПО и перекладки вертикального руля :

В критерии качества

первый член под интегралом соответствует дисперсии стабилизируемой переменной, второй обеспечивает требуемое демпфирование в системе, третий и четвертый - минимизацию затрат на управление. Так как путевой угол о не является переменной состояния, для определения весовой матрицы из критерия его следует

исключить, использовав соотношение . Тогда .

Выделив из подынтегральной функции квадратичную форму, связанную с вектором состояния

и продифференцировав ее по правилу

можно получить, допустив симметрию весовой матрицы ,

Весовая матрица в данном случае не является диагональной, однако остается симметричной.

При заданной модели и принятом критерии оптимальное управление обеспечивает регулятор состояния

параметры которого

Во многих задачах проектирования автоматических систем стабилизации МПО выдвигается требование структурного астатизма, т. е. равенства нулю математического ожидания одного или нескольких кинематических параметров движения при любых значениях математического ожидания внешнего возмущения. Использование регулятора состояния не гарантирует астатизма оптимальной линейной системы. В этом можно убедиться, анализируя, в частности, результаты, полученные в примере 5.2.

Для того, чтобы регулятор состояния обеспечивал астатизм системы по произвольной переменной в модели неизменяемой части системы должно присутствовать уравнение вида

Тогда в стационарном режиме при любых параметрах регулятора будет обеспечиваться нулевое значение математического ожидания переменной . При необходимости уравнение вида (5.31) может быть искусственно введено в исходную модель путем расширения вектора состояния . Тем самым в структуру регулятора вводится интегрирующая обратная связь. Одновременно под интеграл критерия качества должно быть введено дополнительное слагаемое . В противном случае характеристическое уравнение оптимальной системы окажется с нулевым корнем, и стационарный режим в ней достигаться не будет.

В примере 5.2 для обеспечения астатизма по путевому углу необходимо расширить модель уравнением . Тогда регулятор состояния будет иметь дополнительное слагаемое

которое соответствует наличию интегрирующей обратной связи по путевому углу.

Чтобы окончательно определить оптимальную линейную систему, нужно осуществить аналитическое конструирование регулятора. Под аналитическим конструированием (АНКОР) понимают определение параметров регулятора состояния, т, е. коэффициентов обратных связей оптимальной линейной системы. Это параметрический этап синтеза системы управления частной структуры. Понятие АНКОР более узкое, чем синтез.

Наиболее употребительны два метода аналитического конструирования. заключается в том, что путем решения основных и сопряженных уравнений вида оптимальные изменения векторов состояния и управления которые образуют семейство устойчивых экстремалей. Располагая семейством устойчивых экстремалей, можно с помощью (5.29) определить матрицу коэффициентов обратных связей оптимальной линейной системы.

Второй метод базируется на решении матричного уравнения Риккати в результате которого определяется матрица подобия , а затем согласно (5.30) матрица обратных связей . Оба метода приводят к расчетным процедурам, требующим использования вычислительных машин. Каждый метод характеризуется определенными достоинствами и недостатками, поэтому трудно отдать предпочтение одному из них.