2.4. Линейная модель рыскания надводного водойзмещающего судна

Частная линейная модель движения рыскания надводного водоизмещающего корабля при отсутствии ветро-волновых возмущений (их влияние подробно рассматривается в гл. 3) образуется дифференциальным уравнением равновесия моментов (рис. 2.3) относительно вертикальной оси и уравнением связи (2.20), а также уравнением равновесия сил относительно поперечной оси (2.17) в виду существенной зависимости внешних моментов на корпусе и руле от направления обтекающего потока воды, определяемого углом дрейфа. Упрощение уравнений базируется на следующих допущениях:

- движение рыскания происходит в условиях балансировочного режима, характеризующегося постоянной скоростью хода малой величиной угла установившегося дрейфа и нулевым значением установившегося угла рыскания ;

- определяющими являются гидродинамические силы на корпусе и вертикальном руле, которые появляются в результате движения судна в невозмущенной среде;

- в любой момент времени сила тяги компенсирует продольное гидродинамическое сопротивление;

- возможные отклонения угла дрейфа рыскания и угловой скорости ограничиваются кусочно-линейной зоной гидродинамических характеристик, допускающих анализ на основе их линеаризации;

- техническим средством управления является вертикальный руль, угол перекладки которого не достигает предельно допустимых значений.

При этих допущениях для анализа режима рыскания могут использоваться в линеаризованной форме исходные нелинейные уравнения

выражения для внешних сил и моментов на корпусе

и руле

.

Согласно правилам линеаризации (2.10), (2.11) определяются приращения функций в правых частях уравнений (2.23). С учетом присоединенных масс и моментов инерции , а также соотношения переходим к линеаризованным уравнениям движения рыскания водоизмещающего надводного корабля для приращений кинематических параметров относительно их значений в балансировочном режиме

Рис. 2.3. Силы и моменты при рыскании судна

Опустив символ приращения, можно привести (2.24) к форме (2.8) линеаризованной модели МПО

Элементы матриц А и В легко определяются при сопоставлении (2.24) и (2.25).

Модель (2.25) позволяет найти изменение бокового сноса корабля на основании (2.18). При малых значениях углов крена и рыскания дополнительное дифференциальное уравнение имеет вид

Структура взаимосвязей между переменными состояния линейной модели движения рыскания иллюстрируется рис. 2.4.

Другой формой линейной модели МПО являются передаточные функции, которые связывают операторными соотношениями изображения переменных состояния с управляющими и возмущающими воздействиями, преобразованными по Лапласу.

Если исходная форма линейных дифференциальных уравений

то после преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях они превращаются в алгебраическое матричное уравнение

где - комплексная переменная.

Соотношение (2.26) можно записать в такой форме

и выразить через матрицы передаточных функций

по управлению

и возмущению

Рис. 2.4. Структурная схема линейной модели рыскания судна

Число строк матрицы передаточной функции равно количеству переменных состояния , а столбцов - по размеру векторов управления или возмущения . Таким образом, общее число передаточных функций по управлению , а по возмущению их .

В соответствии с правилом обращения матриц

где - характеристический определитель линейной системы, который преобразуется в полином, являющийся общим знаменателем всех передаточных функций: - матрица-адъюнкта, размером образованная алгебраическими дополнениями для соответствующих элементов характеристического определителя с их последующим транспонированием.

Применив формулы (2.27), (2.29) к линейной системе (2.25), получим передаточные функции корабля, которые связывают изображения углов рыскания, и дрейфа, а также угловой скорости с изображением угла перекладки руля

Характеристический полином-знаменатель передаточных функций МПО

имеет один нулевой полюс , а два другие

могут быть вещественными или комплексно-сопряженными и располагаться в комплексной плоскости слева или справа от мнимой оси. Последний случай соответствует неустойчивому движению судна на заданном курсе.

Полиномы числителей получают с помощью алгебраических дополнений характеристического определителя

путем перемножения матрицы-адъюнкты и матрицы параметров управления В

После несложных преобразований приходим к общему виду передаточных функций, характеризующих движение рыскания надводного водоизмещающего корабля,

.

Подробнее модели движения надводного водоизмещающего корабля рассмотрены в [14].