2.2. Линеаризация уравнений движения

Линеаризация дифференциальных уравнений базируется на разложении в ряд Тэйлора нелинейных функций одного или нескольких аргументов с последующим выделением членов ряда с первыми степенями аргументов.

Нелинейная скалярная функция одного аргумента в окрестности опорной точки изменяется на величину в результате приращения аргумента . Эта функция может быть представлена в виде бесконечной суммы ряда Тэйлора

Ряд определяется первыми двумя членами:

если отклонение аргумента от опорного значения мало , либо высшие производные функции в опорной точке и т. д. имеют значения, близкие к нулю. Последнее означает слабое проявление нелинейных свойств и линейное приращение функции соответствует широкому диапазону изменения аргумента

.

Если функция зависит от нескольких аргументов т. е. имеет векторный аргумент , то (2.6) приобретает вид

Последнее выражение можно распространить на случай векторной функции нескольких векторных аргументов :

Использовав (2.7), можно представить матричное уравнение движения МПО (2.1) в линеаризованном виде для некоторого балансировочного режима, определяемого условием (2.2)

Так как и , получаем линейную модель движения МПО в приращениях относительно балансировочного режима , которые в дальнейшем будем обозначать без символа приращения

- матрицы коэффициентов, постоянных для одного балансировочного режима. При переходе состояния МПО из одного балансировочного режима в другой элементы матриц А, В, С изменяются.

Линейное матричное дифференциальное уравнение (2.8) при фиксированных значениях А, В, С является достоверной моделью режима стабилизации МПО. Режим малого маневрирования требует для своего анализа две модели вида (2.8), различающиеся между собой значениями матриц А, В, С, которые определяются по начальному и конечному балансировочным режимам. Для глубокого маневрирования необходим набор линейных моделей (2.8), определенных по характерным опорным точкам промежуточных состояний объекта, сопровождающих его переход из одного стационарного режима в другой.

Переход от нелинейной модели (2.1) к линеаризованным описаниям вида (2.8) существенно упрощает анализ движения МПО, обобщает получаемые решения даже в тех случаях, когда нельзя ограничиться одной линейной моделью, а приходится использовать набор дифференциальных уравнений.

Согласно первому методу Ляпунова линеаризованное уравнение в большинстве случаев позволяет оценить устойчивость нелинейного объекта в опорных точках равновесия. Для этого достаточно найти

собственные числа матрицы А путем расчета корней характеристического полинома , в который раскладывается характеристический определитель системы линейных дифференциальных уравнений

где - единичная матрица размером .

Наличие хотя бы одного корня с положительной вещественной частью говорит о неустойчивом балансировочном режиме. Только появление нулевого корня не позволяет определить устойчивость системы. Для иллюстрации проанализируем устойчивость балансировочных режимов, указанных на рис. 2.1, использовав линеаризованное уравнение получеуное из (2.5) для приращения скорости хода СВП. Корень характеристического уравнения имеет отрицательные значения при что соответствует точкам . В точке 9 и , а в остальных точках , что говорит о неустойчивости этих балансировочных режимов.

Скалярные нелинейные функции составляющие правую часть уравнения (2.1), образуются наложением более простых нелинейных зависимостей. Практическое формирование линейных моделей движения МПО начинается с линеаризации этих элементарных нелинейных функций, которые объединяются в три основные группы: тригонометрические функции, образующие кинематические матрицы уравнений связи, произведения проекций угловой и линейной скоростей, функциональные зависимости нескольких аргументов, отражающие связь сил и моментов с кинематическими параметрами движения. Для каждой группы существуют свои эффективные приемы линеаризации.

При малых углах крена, рыскания и дифферента уравнения связи теряют свою нелинейность и превращаются в линейные. В таком виде их используют для формирования общей системы линеаризованных дифференциальных уравнений МПО.

Основное правило линеаризации (2.6), примененное к произведению двух переменных дает следующее выражение:

Первое слагаемое соответствует значению функции в опорном режиме . Приращение функции, связанное с вариацией аргументов в окрестности опорного режима, выражается двумя другими слагаемыми . Именно они участвуют в образовании

линейной модели движения МПО вида (2.8). Приращения произведений проекций угловой и линейной скоростей, которые входят в уравнения динамики МПО с учетом их значений в балансировочных режимах (2.4), имеют вид

Выражения (2.10) упрощаются благодаря нулевым установившимся значениям угловых скоростей и исключению членов второго порядка малости, образованных произведениями малых приращений скоростей, углов атаки и дрейфа.

Гидроаэродинамические силы и моменты на корпусе МПО и рулях выражаются нелинейными функциональными зависимостями

линеаризация которых осуществляется в предположении постоянства скоростного напора, определяемого по скорости потока в балансировочном режиме, и сводится к разложению в ряд Тэйлора с последующим выделением линейных слагаемых скалярных функций нескольких аргументов

где - значения коэффициентов гидроаэродинамических сил и моментов в балансировочном режиме; и т. д. - частные производные коэффициентов по соответствующим кинематическим параметрам движения в опорной точке режима.

При расчете частных производных гидроаэродинамических характеристик МПО встречаются определенные трудности, так как характеристики редко задаются аналитическими выражениями. Обычно по результатам модельных экспериментов их представляют в виде таблиц или графиков, которые всегда содержат ошибки опытов. При такой форме задания исходных данных коэффициенты линеаризации удобнее определять не по производным, а по отношению приращений скалярной функции и аргумента в окрестностях опорной точки характеристики

Для лучшего осреднения экспериментальных ошибок, когда на интерувале изменения аргумента известно несколько значений нелинейной скалярной функции следует использовать метод наименьших квадратов, суть которого применительно к рассматриваемой задаче состоит в следующем.

Если требуется аппроксимировать функцию линейной зависимостью , то это означает, что нужно выбрать коэффициент наклона а таким образом, чтобы среднеквадратичная ошибка между исходными данными и результатами аппроксимации была минимальной

Для этого необходимо, чтобы

откуда

Пример 2.1. Зависимость коэффициента боковой гидродинамической силы на корпусе от угла дрейфа корабля задана табл. 2.1. Определить коэффициент наклона аппроксимирующей прямой на заданном интервале изменения угла дрейфа.

В соответствии с (2.12)

В табл. 2.1 приведены также значения гидродинамического коэффициента, вычисленные по линейной зависимости величины ошибок аппроксимации , а также коэффициенты наклона аппроксимирующих прямых вычисленные по приращению функции на интервале изменения аргумента от нуля до значения характеристики гидродинамической силы при таком способе определения коэффициента наклона и возникающие при этом ошибки. Такой анализ подтверждает эффект усреднения ошибок при использовании метода наименьших квадратов.

Таблица 2.1.

Переход к линейным моделям упрощает форму математического описания пространственного движения МПО. Но порядок дифференциальных уравнений при этом остается неизменным. По-прежнему 12 уравнений 1-го порядка образуют систему (2.8) так же, как и (2.1). Дальнейшее преобразование математической модели движения МПО с целью рационального упрощения анализа и синтеза систем управления достигается путем перехода от одной системы дифференциальных уравнений 12-го порядка к нескольким несвязанным между собой системам пониженного порядка. Это оказывается возможным в результате разделения движений, при котором полное пространственное перемещение МПО образуется наложением элементарных движений.