5.5. Аналитическое конструирование на основе уравнения Риккати

Выражение (5.30) показывает, что матрицу обратных связей можно рассчитать, если известна матрица подобия, устанавливающая связь вектора состояния и сопряженного вектора . Условие для расчета матрицы получают исключением из основных и сопряженных уравнений (5,20) оптимальной линейной системы вспомогательного вектора :

.

После несложных преобразований (5.41) приходим к уравнению Риккати для стационарных систем, к частному случаю, справедливому для линейных систем с постоянными коэффициентами:

Оно является нелинейным матричным уравнением квадратичной формы и симметричным относительно неизвестной матрицы . Эти особенности уравнения (5.42) определяют ее основные свойства.

Во-первых, матрица Риккати квадратная и симметричная по отношению к главной диагонали . Чтобы это показать воспользуемся основными правилами транспонирования матриц:

- транспонирование не нарушает равенства матриц, если , то ;

- транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных слагаемых ;

- при транспонировании произведения справедливо .

Представим (5.42) в виде

и осуществим его транспонирование

Последовательно используя правило транспонирования произведения матриц и имея в виду симметрию матрицы весовых множителей преобразуем (5,44) к виду

Уравнение (5.45) повторяет (5.43), но имеет в качестве неизвестного транспонированную матрицу Риккати. Так как решения одинаковых уравнений (5.43) и то .

Симметрия матрицы подобия приводит к тому, что количество неизвестных в уравнении Риккати (5,42) меньше, чем полное число ее элементов . Внедиагональные элементы связаны условием . Поэтому число неизвестных элементов матрицы Риккати равно и совпадает с количеством независимых скалярных уравнений, заключенных в матричном уравнении (5.42).

Второе свойство матрицы Риккати заключается в ее положительной определенности. Хотя существуют два решения уравнения в виде положительно и отрицательно определенных матриц, для расчета матрицы обратных связей пригодна только одна из них положительно определенная, так как именно она обеспечивает отрицательные обратные связи и устойчивость замкнутой системы управления,

Подтвердим это положение анализом связей в линейной системе с регулятором состояний, уравнение которой имеет вид или с учетом (5.30)

Из (5.46) следует, что регулятор состояния обеспечивает устойчивость линейной системы путем организации отрицательных обратных связей в том случае, если В - положительно определенная матрица. В этом произведении положительно определенная и диагональная матрица по исходному условию оптимальности. Поэтому положительно определенной является и квадратичная форма . Следовательно, также должна быть положительно определенной.

Аналитическое конструирование на основе уравнения Риккати обладает рядом преимуществ по сравнению с методом устойчивых экстремалей. Во-первых, исчезает необходимость получения характеристического полинома и определения его корней. Во-вторых, все вычисления проходят только с вещественными числами. Оба обстоятельства могут привести к повышению точности результата и сокращению машинного времени.

Однако метод имеет и свои недостатки. Решение нелинейного матричного уравнения связано с существенными вычислительными трудностями,

резко возрастающими с увеличением размерности решаемой задачи. Кроме того, при таком подходе исчезает промежуточная информация о динамических свойствах синтезируемой системы. Поэтому выбор метода аналитического конструирования в значительной мере зависит от характера решаемой задачи, личных склонностей проектировщика и того математического обеспечения, которым он располагает.

Пример 5.5. По исходным данным примера (5.3) выполним аналитическое конструирование методом уравнения Риккати. Так как исходные уравнения имеют третий порядок, то размер искомой матрицы Риккати [ 3 х 3] :

при этом .

Следовательно в имеется 6 неизвестных элементов. Запишем в развернутой форме слагаемые уравнения

Из девяти скалярных уравнений, получаемых на основании уравнения Риккати, выделим шесть независимых:

.

Из первого соотношения , но для решения нужно принять положительное значение, чтобы получить положительно определенную матрицу . Путем последовательного исключения переменных получаем уравнение . Решение его численным методом дает . Последовательно вычислив все элементы матрицы Риккати, получим

После этого определяем матрицу обратных связей

Уравнение Риккати (5.42) относится к классу нелинейных функциональных матричных уравнений вида . Аналитическое решение этих уравнений в замкнутой форме получить практически не удается. Поэтому используют численные методы, среди которых наиболее эффективным считается алгоритм Ньютона-Рафсона.

Суть численного решения функционального уравнения заключается в том, что оно достигается путем последовательного изменения аргумента . Алгоритм решения определяет такой порядок перехода от одного значения аргумента к другому который обеспечивает уменьшение на каждом шаге: .

Эффективность алгоритма тем выше, чем меньше шагов требуется для решения. Максимальная эффективность получается, когда при уже на следующем шаге достигается решение . Однако в общем случае сложный вид функции не позволяет найти шаг к , который сразу приводит к решению. Можно найти только его приближенное значение путем аппроксимации , например, рядом Тейлора:

Если ограничиться первыми двумя членами ряда, то величина шага, обеспечивающая будет равна

а алгоритмическая формула решения (алгоритм Ньютона-Рафсона)

Рис. 5.5. Сходимость алгоритма Ньютона-Рафсона.

Так как принятая линейная аппроксимация груба, получить точное решение уже на первом шаге не удается. Для этого требуется несколько шагов. К сожалению, алгоритм сходится только в том случае, если на интервале: начальное приближение аргумента - решение гладкая функция без перегибов (рис. 5.5). Будучи весьма эффективным, алгоритм Ньютона-Рафсона очень чувствителен к выбору начального значения аргумента.

Алгоритмическая формула (5,47) справедлива как в скалярной, так и в векторной форме, когда . В этом случае

При численном решении уравнения Риккати аргумент образуется независимыми элементами матрицы . Количество используемых функциональных зависимостей совпадает с размерностью аргумента

Другая группа численных методов расчета матрицы Риккати использует то обстоятельство, что решение уравнения (5.42) является асимптотическим решением при дифференциального уравнения

Для получения этого решения используют численные алгоритмы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений вида

которые подробно описаны в литературе (см. например, [19]), а здесь мы только перечислим наиболее употребительные из них:

- простой алгоритм Эйлера или метод Рунге-Кутта порядка с алгоритмической формулой

- модифицированный алгоритм Эйлера (метод Рунге-Кутта II порядка)

- исправленный алгоритм Эйлера

- алгоритм Рунге-Кутта IV порядка

В приведенных формулах вектор образуется независимыми элементами матрицы Риккати: - рассчитываемые значения этого вектора при и шаг интегрирования; - векторная функциональная зависимость, определяемая уравнением Риккати.

Однако асимптотическое решение при численными методами можно получить только в том случае, если нелинейное дифференциальное уравнение (5.48) является устойчивым. В конкретных задачах аналитического конструирования автоматических систем управления движением часто приходится сталкиваться с неустойчивой дифференциальной формой уравнения Риккати. В этом случае вместо (548) можно использовать уравнение

где - квадратная корректирующая матрица размером .

С точки зрения асимптотического решения, оба уравнения (5.48) и (5.49) идентичны, но матрицу можно подобрать таким образом, чтобы (5.49) было устойчивым при неустойчивом уравнении (5.48). Часто это достигается при .

Существенным достоинством численного интегрирования при решении уравнения Риккати является возможность использования стандартных программ ЦВМ.