ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ПОЛЯ

11. Поле для функционала в обычной форме.

В предыдущей главе было выведено лишь основное необходимое условие для экстремума. Мы должны теперь перейти к выводу достаточных, а также дальнейших необходимых условий. С этой целью нам придётся ввести некоторые новые понятия и в первую очередь понятие о поле. В настоящем параграфе мы введём это понятие для функционала

При этом мы сохраним все предположения о подинтегральной функции которые были сделаны в а также все обозначения, которые там были введены.

Будем называть полем для функционала (1) всякую область вместе с вектор-функцией

если выполнены следующие условия:

а) в области D функции имеют непрерывные частные производные первого порядка,

б) криволинейный интеграл

(2)

носящий название интеграла Гильберта, зависит лишь от начальной и конечной точкн кривой С и не зависит от вида этой кривой.

Об области D говорят, что она покрыта полем, а вектор-функцию Р называют наклоном поля.

Следуя обычному в гокторном анализе пути, мы прежде всого займёмся нахождением траекторий поля. Они определяются системой дифференциальных уравнений первого порядка

В силу теоремы существования теории обыкновенных дифференциальных уравнений через каждую точку области D проходит одна и только одна траектория, и совокупность всех траекторий есть n-параметрическое семейство:

или коротко

где Ф означает вектор-функцию, которая вместе с непрерывно дифференцируема по всем в некоторой области R пространства переменных .

Теперь обратимся к интегралу Гильберта. Так как он не зависит от пути, то его подинтегралыюе выражение должно быть точным дифференциалом. Запишем условия, выражающие этот факт. Мы имеем прежде всего условий

(эти условия отсутствуют при а затем n условий

Выполняя дифференцирование, перепишем (5) в виде

или, если учесть (4),

Так как

то, следовательно, полученному соотношению можно придать вид

Выясним теперь, во что превращается это соотношение вдоль каждой траектории поля. Так как вдоль траектории

и, значит,

то вдоль траектории соотношение (6) принимает вид

или

Но это означает, что траекториями поля являются экстремали.

Итак, семейство траекторий поля (3) есть n-параметрическое семейство экстремалей функционала. Так как совокупность всех экстремалей функционала есть 2n-параметрическое семейство, то совокупность всех траекторий поля является правильной частью совокупности всех экстремалей функционала. В связи с этим возникает вопрос, каким условиям должно удовлетворять n-параметрическое семейство экстремалей функционала, чтобы существовало поле этого функционала, для которого рассматриваемое семейство экстремалей является семейством всех траекторий. В следующем параграфе этот вопрос будет исследован.

Здесь же мы отметим одно очевидное свойство интеграла Гильберта, которое состоит в том, что вдоль каждой дуги траектории (экстремали) поля интеграл Гильберта превращается в функционал (1), взятый по этой дуге.