6. Одна теорема Гильберта.

Гильберту принадлежит следующее предложение:

Если есть экстремаль функционала

и если в некоторой точке имеет место неравенство

то в некоторой окрестности точка вектор-функция имеет непрерывную вторую производную.

Доказательство. На основании интегральных тождеств

система уравнений

имеет для каждого x решение относительно . Условие (1) выражает, что в точке якобиан этой системы отличен от нуля. Поэтому применима теорема о неявных функциях, в силу которой функции этой системой и условиями

определяются в некоторой окрестности точки однозначно и в этой окрестности непрерывно дифференцируемы.

Таким образом , и, значит, производные в некоторой окрестности точки существуют и непрерывны. Тем самым теорема Гильберта доказана. Предполагая, что условие (1) в точке выполнено, мы, таким образом, можем в окрестности этой точки продифференцировать тождества (2). Это даёт

Отсюда, полагая

находим, что в некоторой окрестности точки

где

— некоторые многочлены от частных производных второго порядка функции .

В дальнейшем нам неоднократно придётся делать предположение, что определитель для тех или иных значений отличен от нуля. Поэтому целесообразно ввести следующую терминологию.

Будем называть элементом систему из чисел

где — точка области подчинены лишь требованию конечности.

Элемент (3) назовём неособенным относительно рассматриваемого функционала, если

Если всякий элемент некоторой дуги экстремали является неособенным, то будем называть неособенной дугу экстремали.

Наконец, если вообще любой элемент является неособенным, будем называть неособенным функционал.