24. Элементарное правило множителей.

В следующих двух параграфах мы будем рассматривать основные задачи вариационного исчисления на так называемый условный экстремум. Эти задачи являются некоторым обобщением задачи на условный экстремум из дифференциального исчисления, при решении которой применяется известное правило множителей Лагранжа Так как в дальнейшем нам придётся непосредственно воспользоваться этим правилом, то целесообразно его предварительно напомнить, что мы и сделаем в настоящем параграфе, следуя Блиссу.

Рассматривается задача об экстремуме функции

при связях

Все функции предполагаются непрерывно дифференцируемыми в некоторой области k-мерного пространства. Пусть в некоторой внутренней точке этой области

удовлетворяющей связям (2), функция (1) принимает экстремальное значение .

Утверждается, что в таком случае ранг матрицы

меньше, чем . При этом приняты обозначения

Для доказательства допустим противное. Тогда матрица

так же как и матрица (4), имеет ранг . Поэтому система уравнений

в достаточно малюй окрестности точки

будет разрешима при любом достаточно малом по модулю h, как положительном, так и отрицательном, относительно некоторых из переменных , каковы бы ни были значения остальных переменных, достаточшо близкие к соответствующим . Из сказанного следует, что в любой сколь угодно малой окрестности точки (3) найдутся точки, удовлетворяющие связям (2), в котюрых функция (1) принимает как значения, большие , так и меньшие . Таким образом, в точке (3) функщия (1) не имеет условного экстремума, и утверждение доказано.

Но если в точске (3), где условный экстремум достигается, ранг матрицы (4) должен быть меньше, чем , то в этой точке между k-мерными векторами

должна существовать линейная зависимость. Иначе говоря, должны существошать константы

не все равные нулю и такие, что в точке (3) градиент функции

равен нулю. В этом и состоит элементарное правило множителей.

Может случиться, что не будет равно нулю, и тогда можно положить . Это произойдёт в том и только в том случае, когда ранг матрицы

равен .

В следующем параграфе нам ещё понадобится критерий линейной независимости системы вектор-функций. Не желая отсылать читателя к специальным курсам, приведём здесь этот критерий применительно к тому случаю, который нам будет нужен.

Пусть рассматривается система вещественных кусочно-непрерывных вектор-функций

Положим

В таком случае для линейной независимости вектор-функций необходимо и достаточно, чтобы был отличен от нуля следующий определитель (определитель Грама)

Приведём доказательство. Если вектор-функции (5) линейно зависимы, то существуют константы не все равные нулю, для которых

Отсюда

и, значит,

Так как по условию не все равны нулю, то должен равняться нулю определитель этой системы. Таким образом доказано, что из линейной зависимости вектор-функций (5) следует равенство нулю определителя (6).

Пусть теперь дано, что определитель (6) равен нулю. В таком случае система (7) имеет нетривиальное решение и, умножая уравнение (7) на и суммируя по , найдём, что

Теперь положим

откуда

Поэтому

и, значит, всюду в интервале

Таким образом доказано, что из- равенства нулю определителя (6) следует линейная зависимость вектор-функций (5).