Главная > Лекции по вариационному исчислению
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8. Зависимость решений дифференциальных уравнений от параметров.

Предложения, которым посвящён настоящий параграф, принадлежат теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для удобства читателя мы приводим их здесь — одно с доказательством, а другое без доказательства.

Теорема 1. Пусть система уравнений

имеет решение

причём в некоторой окрестности D кривой (2) правые части непрерывны и удовлетворяют условиям Коши — Липшица относительно переменных а именно:

где К — некоторая постоянная. В таком случае существует такая окрестность кривой (2), что через любую точку проходит одна и только одна интегральная кривая:

системы (1).

Эту теорему часто называют теоремой о погружении, так как она устанавливает, что интегральная кривая на всём её протяжении включается в некоторое семейство интегральных кривых.

Доказательство. Ограничимся для простоты случаем . Функция

являющаяся решением уравнения

очевидно, удовлетворяет интегральному уравнению

Будем применять метод последовательных приближений, отправляясь от нулевого приближения

и полагая

При этом мы примем, что

где то-есть что точка лежит достаточно близко к кривой (2), если достаточно мало.

Прежде всего покажем, что будут иметь место неравенства

и, значит, все кривые

при достаточно малом будут лежать в области D. Взяв какое-нибудь , удовлетворяющее этому последнему требованию, мы и определим нужную область . Прежде всего имеем неравенство

а с другой стороны,

если положить . Поэтому

Следовательно,

что мы и хотели доказать.

Неравенство (3) показывает, что ряд

сходится равномерно во всём интервале . Но сумма этого ряда есть и, как легко видеть, является решением уравнения , существовение которого мы хотели доказать.

Единственность решения в доказательстве не нуждается.

Теорема 2. Пусть система уравнений

имеет решение

причём в некоторой окрестности D кривой (2) правые части имеют непрерывные частные производные порядка по всем переменным В таком случае существует такая окрестность кривой (2), что функции теоремы 1 и их производные при имеют непрерывные частные производные порядка по всем переменным .

Следствие. Пусть система уравнений

при имеет решение

причём в некоторой окрестности D кривой (5) при

где — некоторое положительное число, правые части уравнений (4) имеют непрерывные частные производные порядка по всем переменным .

В таком случае существует такая окрестность кривой (5) и такое положительное число , что через любую точку при любых , удовлетворяющих неравенствам

проходит одна и только одна интегральная кривая

причём функции и их производные имеют непрерывные частные производные порядка q по всем переменным

Доказательство непосредственно следует из предыдущих теорем, применённых к системе

1
Оглавление
email@scask.ru