8. Зависимость решений дифференциальных уравнений от параметров.

Предложения, которым посвящён настоящий параграф, принадлежат теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для удобства читателя мы приводим их здесь — одно с доказательством, а другое без доказательства.

Теорема 1. Пусть система уравнений

имеет решение

причём в некоторой окрестности D кривой (2) правые части непрерывны и удовлетворяют условиям Коши — Липшица относительно переменных а именно:

где К — некоторая постоянная. В таком случае существует такая окрестность кривой (2), что через любую точку проходит одна и только одна интегральная кривая:

системы (1).

Эту теорему часто называют теоремой о погружении, так как она устанавливает, что интегральная кривая на всём её протяжении включается в некоторое семейство интегральных кривых.

Доказательство. Ограничимся для простоты случаем . Функция

являющаяся решением уравнения

очевидно, удовлетворяет интегральному уравнению

Будем применять метод последовательных приближений, отправляясь от нулевого приближения

и полагая

При этом мы примем, что

где то-есть что точка лежит достаточно близко к кривой (2), если достаточно мало.

Прежде всего покажем, что будут иметь место неравенства

и, значит, все кривые

при достаточно малом будут лежать в области D. Взяв какое-нибудь , удовлетворяющее этому последнему требованию, мы и определим нужную область . Прежде всего имеем неравенство

а с другой стороны,

если положить . Поэтому

Следовательно,

что мы и хотели доказать.

Неравенство (3) показывает, что ряд

сходится равномерно во всём интервале . Но сумма этого ряда есть и, как легко видеть, является решением уравнения , существовение которого мы хотели доказать.

Единственность решения в доказательстве не нуждается.

Теорема 2. Пусть система уравнений

имеет решение

причём в некоторой окрестности D кривой (2) правые части имеют непрерывные частные производные порядка по всем переменным В таком случае существует такая окрестность кривой (2), что функции теоремы 1 и их производные при имеют непрерывные частные производные порядка по всем переменным .

Следствие. Пусть система уравнений

при имеет решение

причём в некоторой окрестности D кривой (5) при

где — некоторое положительное число, правые части уравнений (4) имеют непрерывные частные производные порядка по всем переменным .

В таком случае существует такая окрестность кривой (5) и такое положительное число , что через любую точку при любых , удовлетворяющих неравенствам

проходит одна и только одна интегральная кривая

причём функции и их производные имеют непрерывные частные производные порядка q по всем переменным

Доказательство непосредственно следует из предыдущих теорем, применённых к системе