21. Скользящие концы.

Пусть требуется найти экстремум функционала в классе кривых с одним закреплённым концом и другим концом, скользящим по заданному геометрическому месту (кривой, поверхности, гиперповерхности). Так как среди вариаций искомой кривой есть и такие, при которых не варьируется не только первый, но и второй конец, то искомая кривая должна быть обычной (гладкой или ломаной) экстремалью. Иначе говоря, уравнениями для определения искомых кривых будут прежние уравнения Эйлера — Лагранжа. То новее, что теперь должно появиться, — это условие для определения скользящего конца.

Ограничимся случаем и для общности рассмотрений возьмём функционал в параметрической форме:

Пусть конец кривых (назовём его ) зафиксирован, а начало (назовём его ) скользит по кривой L с параметрическими уравнениями

Мы примем, что функции имеют непрерывные производные не обращающиеся в нуль одновременно.

Положим, что в рассматриваемом нами классе допустимых кривых функционал имеет экстремум и достигает его на гладкой экстремали С.

Значение параметра в точке встречи кривой L с экстремалью С обозначим через и примем, что ; если L есть разомкнутая дуга, то, следовательно, точка встречи предполагается отличной от концов.

Пусть уравнения экстремали С имеют вид

так что

В силу предположения о кривой L, по крайней мере, одна из двух величин отлична от нуля. Примем, что

Теперь проварьируем экстремаль С, вводя кривую с уравнениями

Эта кривая проходит через точку при любых значениях параметров . Что же касается условия на скользящем конце, то оно приводит к двум уравнениям:

В некоторой окрестности значения первое из этих уравнений определяет непрерывно дифференцируемую функцию , обращающуюся в при . Подставляя эту функпию вместо во второе уравнение, найдём, что является непрерывно дифференцируемой функцией от обращающейся в нуль одновременно . При этом

На кривых С семейства (1) функционал является некоторой функцией от параметра :

и эта функция имеет экстремум при . Следовательно,

и, значит, первая вариация функционала обращается на кривой С в нуль. Произведём интегрирование по частям:

Полагая и учитывая, что удовлетворяют уравнениям Эйлера — Лагранжа, находим:

Эту величину мы и должны приравнять нулю. Таким образом, получаем соотношение

Удобно представить его в другом виде. С этой целью обозначим координаты начала кривой С через их дифференциалы вдоль С через и вдоль L через .

Тогда, замечая, что

можем написать:

и, следовательно, равенство принимает вид

Это есть соотношение в скользящем конце между наклонами экстремали и кривой . Присоединяя уравнение

к уравнениям пучка экстремалей с вершиной в точке и уравнениям кривой L, мы и получаем систему уравнений для определения координат искомого скользящего конца.

Соотношение (2) есть частный случай соотношения, выведенного в конце п° 19 и названного соотношением (или условием) трансверсальности; таким образом, координаты скользящего конца подлежат определению из условия трансверсальности.

Действительно, применительно к рассматриваемому нами случаю условие трансверсальности п° 19 пишется в виде

а в силу однородности функции F коэффициент при равен нулю.

Аналогично трактуется функционал в обычной форме

Если принять, что левый конец должен лежать на заданной кривой L, то соотношение на левом конце запишется в виде

что в точности совпадает с соотношением (12) п° 19 при .

Формально охот результат можно получить сведением функционала к функционалу в параметрической форме

полагая

Так как при этом

то

Частным случаем задачи со скользящим концом является задача, в которой на соответствующем конце интервала интегрирования нет вообще никакого условия. Её называют задачей с естественным условием (на рассматриваемом конце). Если этим концом является левый, а правый зафиксирован, то задача формулируется следующим образом: найти экстремум функционала

при единственном условии .

Эта задача включается в общую рассмотренную нами задачу, если в качестве кривой L, на которой должен находиться левый конец, принять прямую

Но тогда для левого конца и, значит, условие для определения левого конца принимает вид

Иногда приходится рассматривать задачу со скользящим концом (снова возьмём левый) для более общего функционала

где — заданная непрерывно дифференцируемая функция от координат искомого левого конца, который должен находиться на заданной кривой L; правый же конец предполагается зафиксированным. Вместо (3) мы получим теперь условие

Мы предполагали, что левый конец является скользящим, а правый фиксированным. Но точно так же трактуется случай, когда скользящим концом является правый, или случай обоих скользящих концов. В этом последнем случае мы получаем два уравнения — по одному для каждого конца. Их запись никакого труда не представляет.

Заканчивая настоящий параграф, остановимся на так называемой разрывной задаче вариационного исчисления, которая гласит:

Дан функционал

где как функция от не непрерывна.

Точнее говоря, область G делится некоторой кривой , имеющей непрерывную касательную, на две части в каждой из которых функция удовлетворяет при любом конечном z всем общим условиям, указанным в п°1, но на линии L непрерывность функции нарушена, а именно эта линия является для линией разрыва первого рода. Левый конец лежит в области , а правый - в области . При этих условиях ищется экстремум функционала .

Прииимая, что искомая кривая пересекает кривую L всего один раз (в какой-то точке с координатами , естественно положить

где

Искомая кривая есть ломаная с точкой излома на кривой L, причём одно её звено будет экстремалью для , а другое экстремалью для . Мы примем, что каждое из этих звеньев есть гладкая экстремаль. Так как точка излома является «скользящим» концом для каждого из них, то, найдя вариацию функционала изложенным выше методом, можно получить условие для определения этой точки излома. Это условие будет иметь вид

Оно является обобщением условий Вейерштрасса — Эрдмана. Действительно, примем, что функция f(x,y,z) непрерывна, в таком случае величины произвольны, и мы можем положить сначала а затем , что и приведёт к условиям Вейерштрасса — Эрдмана для точки излома .