36. Доказательство теоремы Тонелли.

Пусть

— заданный квазирегулярный функционал и пусть — некоторая допустимая кривая. Впишем в кривую ломаную линию с сторонами и обозначим через угол стороны Г с осью Ох. Далее обозначим через дуги, на которые кривая делится вершинами ломаной Если в окрестности кривой будет взята какая-нибудь кривая С, то разбиение кривой на дуги породит разбиение кривой С на некоторые дуги . Благодаря этому можно ввести вспомогательный функционал , зависящий от ломаной :

где

В силу однородности функции F по второй паре аргументов на отрезке выполняется равенство

Поэтому

Но есть сумма интегралов того вида, которые фигурируют в лемме Руссель. Поэтому при фиксированной ломаной можно указать такое , что если кривая С нашей совокупности лежит в -окрестности кривой , то

каково бы ни было число .

Примем на мннутку, что число звеньев и саму ломаную можно выбрать так, чтобы

Тогда на основании (1), (2), (3) и (4) будем иметь

если кривая С лежит в -окрестности кривой . В частности, из (5) следует, что

Рассмотрим теперь разность

Так как функционал квазирегулярен, то . Поэтому

и, принимая во внимание (6), получаем:

то-есть полунепрерывность снизу доказана.

Нам осталось доказать существование ломаной , удовлетворяющей неравенствам (3), (4).

Впишем в кривую какую-нибудь последовательность ломаных имеющую своей предельной кривой. Пусть — периметр — дуговая абсцисса точки на , отсчитываемая от начальной точки линии . Положим далее, что

суть уравнения , а

— уравнения кривой , причём s — дуговая абсцисса точки на . Полагая

представим уравнения ломаной в виде

В таком случае справедливы равенства

Заметим теперь, что каждая из последовательностей удовлетворяет условиям теоремы Арцела. Поэтому из последовательности пар можно выделить подпоследовательность пар (мы снова обозначим её , которая равномерно сходится к некоторой паре, и этой парой, очевидно, является .

Кроме того, в силу (7) и (8) все интегралы

не превосходят одной и той же конечной величины. Эти два свойства последовательности пар позволяют легко установить с помощью уже применявшихся в п° 29 рассуждений, что последовательность пар слабо сходится к паре причём слабая сходимость означает здесь следующее: каковы бы ни были две измеримые функции , для которых

имеет место соотношение

Убедившись в слабой сходимости последовательности пар к паре и принимая во внимание равенства (7), (8), а также соотношение

мы без труда докажем, что

то-есть что последовательность пар сильно сходится к паре .

Действительно, в правой части равенства

первый член стремится к в силу (9), а третий член стремится к

на основании слабой сходимости последовательности пар

. Поэтому вся правая часть стремится к нулю, что и доказывает сильную сходимость последовательности пар к паре .

На основании всего сказанного уже легко показать, что

В самом деле,

Первый член при имеет пределом нуль в силу равномерной сходимости последовательности пар к паре . Что касается второго члена, то его можно представить в виде

где

откуда и следует, что

где А — некоторая постоянная. Поэтому стремится к нулю на основании сильной сходимости последователь ности пар к паре . Итак, соотношение (10) доказано. Из него следует, что при

Остаётся доказать, что при справедливо также неравенство

С этой целью возьмём какое-нибудь положительное число Тогда найдётся такое , что в каждом круге радиуса колебание каждой из функций

не превзойдёт при любом 0. Возьмём столь большое , чтобы при каждое звено ломаной вместе со стягиваемой ею дугой кривой лежало в круге радиуса с центром на рассматриваемом звене. Координаты этого центра для звена обозначим через , а наклон звена через и положим

Поскольку

то

С другой стороны,

и, значит,

Таким образом, неравенство (11) также доказано.