14. Функция Вейерштрасса.
Для функционала
функцией Вейерштрасса называют следующую функцию от скалярной переменной 
и трёх векторов 
:
Если рассматривать 
как функцию от последнего векторного аргумента, то 
представляет разность между значением функции 
в точке Q и линейной частью её разложения Тейлора для точки Z. Поэтому
Для функционала в параметрической форме
под функцией Вейерштрасса понимают функцию
Она построена так же, как и для функционала в обычной форме. Однако вследствие однородности функции F написанное выражение допускает упрощение. Действительно, в силу указанного свойства функции 
Таким образом,
(3) Для дальнейшего преобразования возьмём тождество
Интегрируя его от 0 до 
, получим:
Аналогично находим:
С помощью этих формул равенство (3) может быть переписано в виде
При построении функции 
мы можем для выбранного 
изменять 
в любом интервале длины 
.
Беря в качестве этого интервала 
, найдём, что
Поэтому в интеграле (4) для всех 
из интервала интегрирования либо
либо
В обоих случаях функция 
не меняет знака в интервале интегрирования и, следовательно, применима первая теорема о среднем значении. Она даёт:
Как видим,
