31. Переход к уравнению Эйлера—Лагранжа.

Займёмся дальнейшим изучением функции , доставляющей абсолютный минимум функционалу

при условии

и связях

которые мы теперь полностью перечисляем. Пока доказано лить существование этой функции в классе абсолютно непрерывных функций, и это всё, что можно утверждать при тех предположениях о функциях , которые выше были сделаны.

Теперь мы предположим, что все функции имеют непрерывные производные по у. В таком случае, если кривая

за возможным исключением её концов лежит внутри области G, то можно утверждать, что существуют константы , при которых почти всюду в

(1)

Действительно, варьируя кривую при фиксированных концах так, как это было сделано в п° 25, мы найдём, что при некоторых константах

откуда и вытекает, что выражение в фигурных скобках равняется нулю почти всюду в .

Соотношение (1) выражает, что функция почти всюду в удовлетворяет уравнению Эйлера—Лагранжа в интегральной форме.

Наиболее сажным случаем является тот, когда требование о монотонности функции заменено более жёстким требованием, что при любом конечном z для любой точки существует непрерывная вторая производная и имеет место неравенство

Если оставить в стороне исключительный случай, когда в соотношении , то можно положить . Поэтому рассмотрим уравнение

На основании теоремы о неявных функциях, которая здесь применима в силу (2), этим уравнением во всём интервале однозначно определяется непрерывная функция , которая почти всюду в этом интервале равна . Поэтому при условии (2) абсолютно непрерывная функция является гладкой функцией и, следовательно, удовлетворяет уравнению Эйлера—Лагранжа в дифференциальной форме:

(3)

Для иллюстрации этих общих результатов рассмотрим линейное уравнение

где — известные непрерывные функции в конечном интервале . Пусть требуется найти решение этого уравнения при краевых условиях

Уравнение (4) является уравнением Эйлера—Лагранжа для функциовала (квадратичного)

так что

Покажем прежде всего, что при отыскании минимума функционала можно ограничиться только теми кривыми, которые лежат в прямоугольнике

при некотором вполне определённом . С этой целью возьмём какую-нибудь функцию (например, линейную), удовлетворяющую условиям (5), и положим

При нахождении минимума функционала можно, очевидно, ограничиться рассмотрением лишь тех (допустимых) функций у = у(х), для которых

Так как , то из этого неравенства следует, что

Отсюда

и, значит,

где — вполне определённые постоянные. С другой стороны, из равенства

следует, что

Сопоставление (8) и (7) даёт

откуда и вытекает, что

где m зависит лишь от .

Итак, кривые у = у(х), на которых следует рассматривать функционал , должны лежать в прямоугольнике (6), а в этом прямоугольнике, который, таким образом, играет роль области G,

где

то-есть условие (4) п° 28 выполняется в каждой точке области (6) при любом конечном z, если взять р = 2.

Что касается условия монотонности , то и оно выполнено, так как

Мало того, выполнено также усиленное условие

и поэтому не только существует кривая , доставляющая функционалу абсолютный минимум, но можно утверждать, что функция гладкая и удовлетворяет уравнению (4).

Таким образом, доказано, что решение уравнения (4) при условиях (5) существует.

Что это решение единственно, доказывается очень просто. Действительно, если бы существовали два решения , то их разность удовлетворяла бы однородному уравнению

и однородным условиям

Но, умножая (9) на и и интегрируя по частям, находим:

что в силу предположения о функциях возможно лишь при .