Лекции по вариационному исчислению

Научная библиотека

Научная библиотека

Лекции по вариационному исчислению

Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. М. 1955. - 248 с.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1. Основная задача вариационного исчисления
2. Абсолютный и относительный экстремумы.
3. Первое необходимое условие для экстремума.
5. Инвариантность уравнений Эйлера—Лагранжа.
6. Одна теорема Гильберта.
7. О существовании экстремалей.
8. Зависимость решений дифференциальных уравнений от параметров.
9. Одна теорема Бернштейна.
10. Задача вариационного исчисления в параметрической форме.
ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
11. Поле для функционала в обычной форме.
12. Построение поля.
13. Поле для функционала в параметрической форме.
14. Функция Вейерштрасса.
15. Достаточные условия для сильного и слабого минимума функционала в обычной форме.
16. Достаточные условия для сильного и слабого минимума функционала в параметрической форме.
17. Необходимые условия Вейерштрасса и Лежандра.
18. Условие Якоби.
19. Теория Гамильтона—Якоби.
ГЛАВА III. РАЗЛИЧНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ
20. Понятие о вариациях функционала.
21. Скользящие концы.
22. Вариация двойных интегралов.
23. Вариация функционалов, зависящих от производных высших порядков.
24. Элементарное правило множителей.
25. Изопериметрическая задача
26. Задача Лагранжа.
ГЛАВА IV. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
27. Понятие о прямых методах.
28. Задача об абсолютном минимуме функционала в обычной форме.
29. Некоторые вспомогательные рассмотрения.
30. Теорема об абсолютном минимуме.
31. Переход к уравнению Эйлера—Лагранжа.
32. Фактическое построение минимизирующих последовательностей.
33. Задача об абсолютном минимуме функционала в параметрической форме.
34. Доказательство теоремы Гильберта.
35. Одно вспомогательное предложение.
36. Доказательство теоремы Тонелли.
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
6 (19). Доказать, что по уравнению Якоби — Гамильтона
15 (10, 15, 18). Задача о наименьшей поверхности вращения.
17 (4, 15, 18). Задача о брахистохроне.
20 (4, 10). Вариационные принципы механики.
25 (25). Задача Кельвина.
28 (26). Задача С. А. Чаплыгина.
30 (22). Необходимое условие для экстремума двойного интеграла (аналог условия Лежандра).
31 (22). Теорема Хаара о регулярных функционалах.
33 (31). Проблема Штурма—Лиувилля.
34. Множество собственных значений проблемы Штурма—Лиувилля
36. Максимально-минимальное свойство собственных значений.