32. Фактическое построение минимизирующих последовательностей.

Одним из важнейших практических приёмов для построения минимизирующих последовательностей является метод В. Ритна, который с большим успехом применяется в различных инженерных вопросах. Этот метод и примыкающий к нему метод Б. Г. Галёркнна подробно излагаются в ряде руководств и специальных статей. Поэтому мы можем ограничиться здесь разъяснением метода Ритца на простейшей задаче об абсолютном минимуме функционала

при условиях

и отсутствии каких-либо связей. Мы будем предполагать, что функция f(х, у, z) непрерывна по совокупности своих аргументов в некоторой замкнутой области G плоскости х, у для любых конечных значений z и удовлетворяет неравенству

при некоторых постоянных , а также что выполнены и другие указанные выше условия, которые в своей совокупности гарантируют существование функции , доставляющей функционалу абсолютный минимум

При этом мы рассмотрим случай, когда есть гладкая кривая, лежащая внутри области G за возможным исключением концов.

Возьмём какую-нибудь последовательность непрерывно дифференцируемых функций удовлетворяющих следующим условиям:

1) ,

2) ,

3) кривая за возможным исключением концов лежит внутри области G,

4) при любом функции линейно независимы,

5) для всякой непрерывной функции F(х) при любом можно найти «многочлен»

удовлетворяющий во всём интервале [a, b] неравенству

Условия 1), 2), 4), 5) наверно будут выполнены, если

а

или

Теперь обратимся к нашей вариационной задаче. Возьмём «многочлен»

(3)

который краевым условиям (1) удовлетворяет при любых мы предположим эти числа такими, что кривая

лежит в области G. В таком случае функционал имеет смысл на многочлене и превращается на нём в некоторую непрерывную функцию от величин ():

Будем искать числа из условия, чтобы эта функция приняла наименьшее значение. Мы имеем, таким образом, некоторую элементарную проблему на нахождение минимума, и первый вопрос, который здесь возникает, — разрешима ли она.

Докажем, что ответ на этот вопрос утвердителен. С этой целью возьмём какой-нибудь набор коэффициентов , при котором кривая (4) лежит в области G, и обозначим соответствующее значение функции (5) через М. Так как мы ищем минимум функции (5), то мы можем ограничиться рассмотрением только тех многочленов (3), для которых

На основании неравенства (2) из (6) следует, что

Отсюда

Левая часть может быть представлена в виде

где

и, значит,

Но функция

непрерывна на единичной сфере (9) и поэтому имеет на ней, на основании теоремы Вейерштрасса, некоторый минимум 8, который, очевидно, больше нуля, так как функции линейно независимы.

Следовательно, функция (8) при любых имеет значение . Но в таком случае из неравенства (7) вытекает неравенство

Таким образом, чтобы удовлетворить неравенству (6), необходимо выполнение неравенства (10), и, следовательно, мы должны искать минимум функции (5) в ограниченной замкнутой области (10) n-мерного пространства, а в такой области непрерывная функция (5) пмеет минимум.

Итак, наша элементарная проблема на минимум будет разрешима при любом n.

Обозначим последовательность получаемых таким путём оптимальных многочленов через . Поскольку всякий многочлен есть частный случай многочлена , то

Значит, величина

монотонно убывает при и поэтому стремится к некоторому пределу , относительно которого наперёд утверждать можно лишь, что

Но мы докажем, используя свойство 5), что в этом соотношении знак > может быть отброшен. Тем самым будет доказано, что последовательность оптимальных многочленов есть минимизирующая последовательность для нашего функционала.

Для доказательства зададимся произвольным и построим многочлен

для которого во всём интервале

Интегрируя это неравенство от а до х, находим:

Теперь введём многочлен

и рассмотрим разность

В силу непрерывности функции f(х, у, z) и неравенств

где при , правая часть (11) стремится к нулю при . Поэтому для любого можно найти такое , что при

откуда

Но по определению оптимальных многочленов

Следовательно,

откуда и вытекает, что