6 (19). Доказать, что по уравнению Якоби — Гамильтона

можно найти функционал.

Определить функционал, если уравнение Якоби—Гамильтона имеет вид

Решение. В качестве отправного пункта возьмём соотношения

Из них для определения f(х, у, z) как функции от z получается уравнение Клеро:

(х, у играют роль параметров).

В случае а) уравнение имеет вид

откуда

В случае б) получаем уравнение

откуда

7 (4, 18, 27). Доказать, что точная нижняя грань значений функционала

равна нулю. Поэтому этот функционал не имеет минимум в классе кусочно-гладких функций.

Решение. Для доказательства возьмём допустимую функцию

В таком случае

При правая часть стремится к нулю.

8 (4, 18). Найти минимум функционала

Решение. Уравнение Эйлера—Лагранжа имеет первый интеграл

Интегрирование даёт

Черев точки (— 1, —1), (1, 1) проходит кривая

Общая теория неприменима, так как не есть кусочно-гладкая функция. Однако непосредственное сравнение величин где - любая функция, удовлетворяющая условиям на концах, имеющая почти всюду производную и такая, что интеграл существует, показывает, что даёт абсолютный минимум.

9 (15). Для функционала

где всюду в G, функция Вейерштрасса неотрицательна для любых конечных z и q в любой точке G, так что условие Вейерштрасса можно не проверять.

10 (18). Для функционала

где не содержит явно у, каждая экстремаль всегда может быть окружена полем, так что условие Якоби можно не проверять.

11 (15, 17, 18). Найти экстремумы функционала

Решение. Экстремалями являются прямые. Пусть

есть уравнение экстремали, соединяющей точки . Тогда

Семейство экстремалей

образует поле; его наклон равен .

Функция Вейерштрасса имеет вид

Дискриминант квадратного трёхчлена в фигурных скобках равен

При он положителен. Следовательно, при функция Вейерштрасса принимает как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому при сильного экстремума нет. Наоборот, при , а также при имеется сильный минимум.

Для проверки условия Лежандра берём функцию

Корни этого квадратного трёхчлена равны

Если или , то

и, значит, имеется слабый минимум. При имеется слабый максимум. Наконец, при или теория неприменима, но непосредственная проверка показывает, что экстремума нет. Действительно, пусть

тогда

Следовательно, при или

то-есть при достаточно малом знак величины

может быть как «плюс», так и «минус».

12 (15, 17, 18). Исследовать, даёт ли экстремаль

минимум функционалу

Решение. Семейство прямых у = const порождает поле, окружающее экстремаль .

Условие Лежандра выполнено в усиленной форме, а именно при любом конечном q

Поэтому необходимое условие Вейерштрасса выполнено. Это проверяется также и непосредственно:

Сильного минимума, однако, пет. Действительно, если взять ломаную

то при сколь угодно малом k > 0 можно так выбрать h > 0, что будет иметь место неравенство .

13 (15, 17, 18). Найти минимум функционала

и исследовать его характер.

Решение. Экстремали—прямые. Заданным краевым условиям удовлетворяет экстремаль

Поле имеется и слабый минимум обеспечен, так как

Необходимое условие Вейерштрасса выполняется, а достаточное не выполняется. Однако сильный минимум есть, в чём убеждает непосредственное вычисление приращения функционала:

Подинтегральное выражение в правой части положительно, если .

14 (15, 17). Чтобы окружённая полем экстремаль давала сильный минимум, достаточно выполнение неравенства

для любого конечного q и для любой точки некоторой окрестности экстремали Необходимо ли это условие?

Чтобы окружённая полем экстремаль давала сильный минимум, необходимо выполнение неравенства

для любого конечного q. Является ли это условие достаточным?

Ответ. Что неравенство (1) для сильного минимума не необходимо, показывает пример п° 11 Дополнений. Действительно, в этом примере

при всех конечных z знака не сохраняет, а между тем при некоторых начальных данных экстремаль даёт сильный минимум.

Что неравенство (2) для сильного минимума не является достаточным, показывает пример п° 12 Дополнений, где сильного минимума нет, хотя