16. Достаточные условия для сильного и слабого минимума функционала в параметрической форме.

Пусть

есть экстремаль функционала

соединяющая две заданные точки, и пусть эту экстремаль можно окружить полем, наклон которого обозначим через .

В таком случае справедливы следующие предложения: 1) Если в некоторой области D, содержащей экстремаль С и покрытой полем,

для любого значения то экстремаль С даёт функционалу сильный минимум.

2) Если имеет место неравенство

(усиленное условие Лежандра в форме Вейерштрасса), то экстремаль С даёт слабый минимум.

Доказательство этих предложений аналогично доказательству соответствующих предложений для функционала в обычной форме и поэтому может быть опущено.

Однако для функционала в параметрической форме в отличие от функционала в обычной форме предложение 1) можно заменить другим предложением, в котором подлежащее проверке неравенство касается лишь самой экстремали, а не некоторого поля, окружающего её. Это предложение гласит:

1) Если экстремаль С можно окружить полем и если для всех точек экстремали при любом значении

то экстремаль С даёт функционалу (1) сильный минимум. Доказательство. Величина

есть непрерывная функция точки и по условию для всех точек экстремали

где — некоторая положительная постоянная. Значит, можно указать такое что во всяком случае неравенство

будет выполнено в любой точке , которая удалена на расстояние <е от какой-нибудь точки экстремали . Поэтому, заменяя область D некоторой содержащей экстремаль С областью мы можем добиться того, чтобы неравенство (4) имело место в любой точке Возьмём теперь соотношение (5) п° 14, предполагая, что , а произвольны.

В силу этого соотношения

Мы видим, что предложение 1) сводится к предложению 1)