30 (22). Необходимое условие для экстремума двойного интеграла (аналог условия Лежандра).

Чтобы гладкая функция доставляла функционалу

хотя бы слабый экстремум, необходимо выполнение неравенства

(2)

в каждой внутренней точке области D. При этом для минимума необходимо ещё выполнение неравенства

а для максимума — неравенства

Доказательство. Пусть в некоторой внутренней точке области D одно из неравенств (2), (3) не имеет места. Докажем, что в таком случае функция не может давать функционалу минимум. Отсюда уже автоматически будет вытекать (с помощью замены на ), что функция не может доставлять функционалу максимум, если в точке не выполняется хотя бы одно из неравенств (2), (3).

В силу сделанного предположевия и непрерывности одно из неравенств (2), (3) не будет иметь места в целом круге К некоторого радиуса р с центром в точке . Но в таком случае найдётся угол а, при котором для любой точки указанного круга К

В силу непрерывности для угла , достаточно близкого к , также всюду в К будет иметь место, по крайней мере, неравенство

Мы можем принять, что

Проведём теперь прямые:

где настолько мало, что ограниченный этими прямыми ромб целиком лежит внутри К. С помощью своих диагоналей ромб делится на треугольники , основаниями которых являются соответствующие прямые (4).

Далее, введём кусочно-гладкую функцию , полагая вне ромба,

и рассмотрим однопараметрическое семейство допустимых функций

Принимая, что функция доставляет функционалу (1) минимум, приходим к выводу, что

Противоречие будет достигнуто, если мы покажем, что при достаточно малом

Для этого доказательства запишем в виде

примем во внимание прежде всего, что

В силу этих оценок

где S — площадь ромба, а М - верхняя грань абсолютных значений функций . С другой стороны, фактически вычисляя находим:

При достаточно малом величина не окажет влияния на знак суммы и, значит, неравенство (5) доказано.

Отметим, что функционал (1) и соответствующую вариационную проблему называют регулярными, если для любой точки рассматриваемой области пространства , и любых конечных р, q имеет место неравенство

Важность регулярных вариационных проблем для анализа, математической физики и геометрии была впервые подчёркнута Гильбертом на Первом международном математическом конгрессе (Париж, 1900). Среди знаменитых поставленных там Гильбертом проблем одна (19-я по счёту) гласит: «являются ли аналитическими решения регулярных задач вариационного исчисления?»

Ответ на этот вопрос Гильберта был дан С. Н. Бернштейном в его диссертации 1904 года и в несколько изменённой редакции воспроизведён в работе - «Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка эллиптического типа» (Харьков, Сообщ. Харьк. мат. общ., т. XI, 1907). Основная относящаяся сюда теорема Бернштейна гласит:

Если есть трижды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению

где

и если при этом

а сама функция F — аналитическая от всех своих аргументов, то есть аналитическая функция от х, у.

В задачах вариационного исчисления уравнение (6) есть уравнение Эйлера—Лагранжа для функционала (1) и поэтому оно имеет вид

Следовательно, в «этом случае левая часть неравенства (7) равна

Приведём простои пример, иллюстрирующий существенную роль регулярности функционала в вопросе об аналитичности экстремалей. Возьмём нерегулярный функционал

подинтегральная функция которого аналитична. Уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид

а его общим решением является функция

где Ф и — две произвольные дважды дифференцируемые, а не аналитические функции.