Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
26. Задача Лагранжа.Более сложной задачей на условный экстремум является задача Лагранжа. Она состоит в нахождении экстремума функционала
при связях
и некоторых краевых условиях. Мы рассмотрим лишь простейший случай: Итак, возьмём функционал
при СВЯЗИ
Функции Связь (2) называется голономной, если уравнение (2) не содержит Если связь голономна и может быть приведена к виду
то будем предполагать, что
и в этом случае будем рассматривать краевые условия
При неголономной связи (2) будем предполагать, что
и в этом случае будем рассматривать краевые условия
то есть для у принимаем фиксированные концы, а для z—фиксированный правый конец и естественное условие на левом конце. Выбор этих краевых условий можно мотивировать тем, что уравнение связи должно служить для определения одной из функций у, z через другую. В случае голономной связи (3) условие (4) позволяет рассматривать z как функцию от х и у. Поэтому задание в точках а, b функции у определяет в этих точках и функцию z. Неголономную связь (2) при условии (5) можно рассматривать как дифференциальное уравнение первого порядка для z, если функция у известна. Интегрирование этого уравнения вводит одну произвольную постоянную, которой можно воспользоваться, чтобы удовлетворить одному условию, например При неголономной связи (2) можно ставить задачу Лагранжа и для полностью зафиксированных концов
Тогда, если попрежнему рассматривать (2) как уравнение для определения z(x) через у(х), то надлежит допускать лишь такие функции у(х), удовлетворяющие условиям
для которых функции z(x), определённые с помощью уравнения (2), при надлежащем выборе постоянной интегрирования будут удовлетворять обоим условиям
Однако при такой постановке уже в простейших случаях задача может оказаться не имеющей смысла. Например, если уравнение связи имеет вид
то при условиях
условие
Вместе с тем есть случаи, когда задачу Лагранжа приходится решать именно при условиях (6). В самом деле, возьмём задачу об экстремуме функционала
при условиях
Если положить
при условиях (6) и неголономной связи. Мы ограничимся здесь рассмотрением условий (6) и лишь заметим, что то правило множителей, которое мы выведем, остаётся в силе и при полностью зафиксированных концах, если соответствующая задача имеет смысл, а также что это правило обобщается на случай любого Теорема. Если дважды непрерывно дифференцируемые функции
то существует такой множитель
и удовлетворяет условию
Для доказательства берём произвольную непрерывно дифференцируемую функцию
и полагаем
где Условие (2) принимает вид
и является дифференциальным уравнением первого порядка для z. При
В силу условия (7) и общих теорем
причем
Семейство вектор-функций с компонентами
удовлетворяет требованиям (2) и (6). В силу условия теоремы функция
имеет экстремум при
Обычным путём отсюда заключаем, что
А так как тождественно
то при любом множителе
В дальнейшем мы возьмём в качестве
Проинтегрированные члены с функцией
Что касается проинтегрированного члена с
Это есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно X, причём коэффициент при X по условию (7) не обращается в нуль. Написанным уравнением множитель
Отсюда в силу произвольности функции
Равенства (11), (10) показывают, что доставляющая условный экстремум пара функций
то-есть представляет компоненты экстремали функционала
при свободном варьировании. Так как краевое условие (8) также получено, то теорема доказана. При применении этой теоремы приходится решать относительно функций Обратимся теперь к случаю голономной связи (3). Пусть пара дважды непрерывно дифференцируемых функций
и пусть
В силу этого последнего предположения уравнение (3) определяет в некоторой окрестности кривой Подставляя
которому функция
где
Используя это явное выражение функции F, перепишем соотношение (14) в виде
или
так как
Замечая теперь, что
представим (15) в виде
Отношение
есть некоторая функция от х. Называя её
из которых следует, что функции
Тем самым правило множителей доказано и для случая голономной связи.
|
1 |
Оглавление
|