26. Задача Лагранжа.

Более сложной задачей на условный экстремум является задача Лагранжа. Она состоит в нахождении экстремума функционала

при связях

и некоторых краевых условиях.

Мы рассмотрим лишь простейший случай: и ограничимся выводом правила множителей.

Итак, возьмём функционал

при СВЯЗИ

Функции , как обычно, имеют непрерывные по совокупности всех аргументов производные второго порядка, когда (x,y,z) принадлежит некоторой области G, а принимают любые конечные значения.

Связь (2) называется голономной, если уравнение (2) не содержит или может быть приведено к виду, не содержащему . В противном случае она называется неголономной.

Если связь голономна и может быть приведена к виду

то будем предполагать, что

и в этом случае будем рассматривать краевые условия

При неголономной связи (2) будем предполагать, что

и в этом случае будем рассматривать краевые условия

то есть для у принимаем фиксированные концы, а для z—фиксированный правый конец и естественное условие на левом конце.

Выбор этих краевых условий можно мотивировать тем, что уравнение связи должно служить для определения одной из функций у, z через другую. В случае голономной связи (3) условие (4) позволяет рассматривать z как функцию от х и у. Поэтому задание в точках а, b функции у определяет в этих точках и функцию z.

Неголономную связь (2) при условии (5) можно рассматривать как дифференциальное уравнение первого порядка для z, если функция у известна. Интегрирование этого уравнения вводит одну произвольную постоянную, которой можно воспользоваться, чтобы удовлетворить одному условию, например .

При неголономной связи (2) можно ставить задачу Лагранжа и для полностью зафиксированных концов

Тогда, если попрежнему рассматривать (2) как уравнение для определения z(x) через у(х), то надлежит допускать лишь такие функции у(х), удовлетворяющие условиям

для которых функции z(x), определённые с помощью уравнения (2), при надлежащем выборе постоянной интегрирования будут удовлетворять обоим условиям

Однако при такой постановке уже в простейших случаях задача может оказаться не имеющей смысла. Например, если уравнение связи имеет вид

то при условиях

условие для z на левом конце при вообще не может быть реализовано, а при мы получаем единственную (твёрдую, то-есть не допускающую варьирования) кривую

Вместе с тем есть случаи, когда задачу Лагранжа приходится решать именно при условиях (6). В самом деле, возьмём задачу об экстремуме функционала

при условиях

Если положить , то эта, рассмотренная нами выше, задача сведётся к задаче Лагранжа об экстремуме функционала

при условиях (6) и неголономной связи.

Мы ограничимся здесь рассмотрением условий (6) и лишь заметим, что то правило множителей, которое мы выведем, остаётся в силе и при полностью зафиксированных концах, если соответствующая задача имеет смысл, а также что это правило обобщается на случай любого и любого .

Теорема. Если дважды непрерывно дифференцируемые функции дают условный экстремум функционалу (1) при связи (2) и краевых условиях (6) и если

то существует такой множитель что вектор-функция является безусловной экстремалью для функционала

и удовлетворяет условию

Для доказательства берём произвольную непрерывно дифференцируемую функцию , удовлетворяющую условиям

и полагаем

где - параметр.

Условие (2) принимает вид

и является дифференциальным уравнением первого порядка для z. При оно имеет в интервале решение , удовлетворяющее условию

В силу условия (7) и общих теорем уравнение имеет в интервале для всех достаточно малых по модулю решение , обладающее гладкой производной по и удовлетворяющее условию

причем

Семейство вектор-функций с компонентами

удовлетворяет требованиям (2) и (6). В силу условия теоремы функция

имеет экстремум при . Поэтому

Обычным путём отсюда заключаем, что

А так как тождественно

то при любом множителе

В дальнейшем мы возьмём в качестве некоторую непрерывно дифференцируемую функцию. Поэтому позволительно интегрирование по частям, которое даёт

Проинтегрированные члены с функцией опущены, так как

Что касается проинтегрированного члена с , то при он также равен нулю в силу того, что от не зависит. Теперь мы потребуем, чтобы величина обращалась в нуль при . Это является начальным условием для , которое допустимо на основании условия (7). Далее, потребуем, чтобы во всём интервале

Это есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно X, причём коэффициент при X по условию (7) не обращается в нуль. Написанным уравнением множитель определяется однозначно, так как его значение в точке уже установлено. При сделанном выборе множителя условие (9) принимает вид

Отсюда в силу произвольности функции вытекает, что

Равенства (11), (10) показывают, что доставляющая условный экстремум пара функций является решением системы уравнений

то-есть представляет компоненты экстремали функционала

при свободном варьировании. Так как краевое условие (8) также получено, то теорема доказана.

При применении этой теоремы приходится решать относительно функций уравнения (2), (12), Нетрудно проверить, что это — система четвёртого порядка; её интегрирование приводит к четырём постоянным, для определения которых имеются условия (6) и (8).

Обратимся теперь к случаю голономной связи (3). Пусть пара дважды непрерывно дифференцируемых функций даёт условный экстремум функционалу (1) при связи (3) и условиях

и пусть

В силу этого последнего предположения уравнение (3) определяет в некоторой окрестности кривой дважды непрерывно дифференцируемую функцию , которая превращается в при .

Подставляя вместо z в функционал (1), получим новый функционал

которому функция доставляет уже безусловный экстремум при краевых условиях (13). Поэтому имеет место тождество

где

Используя это явное выражение функции F, перепишем соотношение (14) в виде

или

так как

Замечая теперь, что

представим (15) в виде

Отношение

есть некоторая функция от х. Называя её , получаем в силу (16) два тождества:

из которых следует, что функции удовлетворяют уравнениям Эйлера—Лагранжа для функционала

Тем самым правило множителей доказано и для случая голономной связи.