28. Задача об абсолютном минимуме функционала в обычной форме.

Мы будем рассматривать задачу об абсолютном минимуме функционала

при зафиксированном правом конце:

отсутствии каких-либо условий на левом конце и, возможно, некоторых связях вида

Так как применяемые в дальнейшем построения основаны на современной теории функций вещественного переменного и предполагают интегрируемость в смысле Лебега, то мы будем рассматривать функционал (1) на более широкой совокупности, чем раньше, а именно на совокупности всех абсолютно непрерывных функций , удовлетворяющих условию (2) и связям (3).

При этом кривые у = у(х) должны лежать в заданной замкнутой области G плоскости x, у. Функции предполагаются непрерывными по совокупности своих аргументов при и любом конечном z, а функция предполагается непрерывной и имеющей конечную нижнюю грань на пересечении области G с прямой х = а. Представляет интерес лищь тот случай, когда есть бесконечная совокупность. Во всём дальнейшем будем предполагать, что именно этот случай имеет место.

Кроме перечисленных предположений, мы сделаем ещё два, из которых в настоящем параграфе сформулируем только следующее: существуют константы , для которых:

каково бы ни было z и какова бы ни была точка .

В силу предположения о функции и условия (4) для любой функции

где - нижняя грань функции . Значит,

то-есть существование минимизирующей последовательности, обозначим её , не вызывает сомнений. Мы можем, очевидно, принять, что

В таком случае в силу (5)

то-есть существует такая константа В, что

Теперь возьмём очевидное соотношение

Из него в силу неравенства Гельдера следует, что

где q определяется равенством

Полученное неравенство показывает, что

и

Значит, последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. По теореме Арцела она поэтому содержит подпоследовательность, которая равномерно сходится к некоторой функции . Мы обозначим эту подпоследовательность снова через .

Теперь докажем, что предельная функция является допустимой функцией. То, что удовлетворяет условию (2) и связям (3), очевидно. Не очевидно лишь, что есть функция абсолютно непрерывная. Для доказательства этого факта возьмём произвольную конечную систему не налегающих друг на друга интервалов . Тогда в силу оценки (7)

а на основании неравенства Гельдера для сумм

так что

Делая предельный переход , получаем:

Справа в скобках — сумма длин выбранных интервалов. Таким образом, левая часть стремится к пулю вместе с суммой длин интервалов , но это и означает, что есть функция абсолютно непрерывная.