13. Поле для функционала в параметрической форме.

Определение поля для функционала

аналогично: полем называют всякую область плоскости х, у вместе с непрерывно дифференцируемой в D функцией называемой наклоном поля, если в D интеграл Гильберта

(1)

не зависит от вида пути интегрирования L, а зависит лишь от его начальной и конечной точки.

Траектории поля определяются как интегральные кривые системы

Условие независимости интеграла (1) от пути имеет вид

где

Припоминая функцию перепишем (2) следующим образом:

Это соотношение должно иметь место и для траекторий. Но вдоль всякой траектории справедливы равенства

Поэтому вдоль траектории соотношение (2) принимает вид

Полученное равенство показывает, что траектории являются экстремалями функционала.

Пусть однопараметрическое семейство экстремалей

просто покрывает некоторую односвязную область D плоскости х, у. Если функции непрерывно дифференцируемы в прямоугольной области и если всюду в этой области

то семейство (3) определяет поле.

Простое доказательство этого факта мы можем опустить; отметим лишь, как с помощью формулы (3) найти наклон поля. Для этого прежде всего надлежит решить уравнения (3) относительно и :

Эти две функции имеют в области D непрерывные производные первого порядка. Затем с помощью написанных формул остаётся выразить через переменные х, у величины