17. Необходимые условия Вейерштрасса и Лежандра.

Установив, что для справедливости какого-нибудь факта достаточно выполнения некоторой совокупности условий, мы, естественно, должны выяснить, насколько каждое из этих условий является необходимым.

В настоящем параграфе мы рассмотрим с этой точки зрения условие Вейерштрасса, которое выражается неравенством (2) п° 15, и условие Лежандра, которое выражается неравенством (3) того же параграфа. Покажем, что в ослабленном виде эти условия необходимы для минимума функционала

Соответствующие результаты для функционала в параметрической форме формулируются и получаются аналогичным образом, а потому мы на них не остановимся.

Теорема 1 (необходимое условие Вейерштрасса для сильного минимума). Выполнение неравенства

во всех точках экстремали

при любом конечном векторе Q необходимо, чтобы экстремаль (2) давала функционалу сильный минимум.

Доказательство. Допустим, что для некоторого значения вектора Q, назовём его условие (1) нарушается в некоторой точке то-есть

Для определённости примем, что Возьмём столь малым, чтобы и построим вектор-функцию с помощью следующих соглашений:

где вектор определяется равенством

и, значит, определённым образом зависит от величины . Кривая

при представлена на черт. 4.

Черт. 4.

Наша задача состоит в том, чтобы показать, что разность

может быть сделана отрицательной при надлежащем выборе h. С этой целью вычислим .

Так как

то

откуда

Но в силу того, что есть экстремаль,

Кроме того, дифференцирование по h равенства (4) даёт

откуда, полагая h = 0, находим:

Используя (5), (6) и (3), получаем, что

Так как и по теперь доказанному то для достаточно малых наверно, что и доказывает теорему.

Из доказанной теоремы без труда получается Теорема 2 (необходимое ловие Лежандра для слабого минимума). Выполнение неравенства

во всех точках экстремали

для любых вещественных необходимо, чтобы экстремаль (2) давала функционалу слабый минимум. Доказательство. Предположим, что

где — некоторая точка интервала — какие-то вещественные числа, которые мы будем считать компонентами некоторого вектора А. Далее возьмём соотношение (2) п° 14 в виде

В силу этого соотношения и неравенства (8) будем иметь

Поэтому для всех достаточно малых t > 0

Теперь остаётся положить

и взять использованную при доказательстве теоремы 1 кривую

которая уже будет зависеть не только от h, но и от t. Мы найдём тогда, что при достаточно малых h > 0, t > 0

а с другой стороны, кривая (9) при достаточно малых h > 0, t > 0 лежит в сколь угодно малой слабой окрестности экстремали (2).

Тем самым теорема 2 доказана.