Главная > Лекции по вариационному исчислению
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

17. Необходимые условия Вейерштрасса и Лежандра.

Установив, что для справедливости какого-нибудь факта достаточно выполнения некоторой совокупности условий, мы, естественно, должны выяснить, насколько каждое из этих условий является необходимым.

В настоящем параграфе мы рассмотрим с этой точки зрения условие Вейерштрасса, которое выражается неравенством (2) п° 15, и условие Лежандра, которое выражается неравенством (3) того же параграфа. Покажем, что в ослабленном виде эти условия необходимы для минимума функционала

Соответствующие результаты для функционала в параметрической форме формулируются и получаются аналогичным образом, а потому мы на них не остановимся.

Теорема 1 (необходимое условие Вейерштрасса для сильного минимума). Выполнение неравенства

во всех точках экстремали

при любом конечном векторе Q необходимо, чтобы экстремаль (2) давала функционалу сильный минимум.

Доказательство. Допустим, что для некоторого значения вектора Q, назовём его условие (1) нарушается в некоторой точке то-есть

Для определённости примем, что Возьмём столь малым, чтобы и построим вектор-функцию с помощью следующих соглашений:

где вектор определяется равенством

и, значит, определённым образом зависит от величины . Кривая

при представлена на черт. 4.

Черт. 4.

Наша задача состоит в том, чтобы показать, что разность

может быть сделана отрицательной при надлежащем выборе h. С этой целью вычислим .

Так как

то

откуда

Но в силу того, что есть экстремаль,

Кроме того, дифференцирование по h равенства (4) даёт

откуда, полагая h = 0, находим:

Используя (5), (6) и (3), получаем, что

Так как и по теперь доказанному то для достаточно малых наверно, что и доказывает теорему.

Из доказанной теоремы без труда получается Теорема 2 (необходимое ловие Лежандра для слабого минимума). Выполнение неравенства

во всех точках экстремали

для любых вещественных необходимо, чтобы экстремаль (2) давала функционалу слабый минимум. Доказательство. Предположим, что

где — некоторая точка интервала — какие-то вещественные числа, которые мы будем считать компонентами некоторого вектора А. Далее возьмём соотношение (2) п° 14 в виде

В силу этого соотношения и неравенства (8) будем иметь

Поэтому для всех достаточно малых t > 0

Теперь остаётся положить

и взять использованную при доказательстве теоремы 1 кривую

которая уже будет зависеть не только от h, но и от t. Мы найдём тогда, что при достаточно малых h > 0, t > 0

а с другой стороны, кривая (9) при достаточно малых h > 0, t > 0 лежит в сколь угодно малой слабой окрестности экстремали (2).

Тем самым теорема 2 доказана.

1
Оглавление
email@scask.ru