Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
17. Необходимые условия Вейерштрасса и Лежандра.Установив, что для справедливости какого-нибудь факта достаточно выполнения некоторой совокупности условий, мы, естественно, должны выяснить, насколько каждое из этих условий является необходимым. В настоящем параграфе мы рассмотрим с этой точки зрения условие Вейерштрасса, которое выражается неравенством (2) п° 15, и условие Лежандра, которое выражается неравенством (3) того же параграфа. Покажем, что в ослабленном виде эти условия необходимы для минимума функционала
Соответствующие результаты для функционала в параметрической форме формулируются и получаются аналогичным образом, а потому мы на них не остановимся. Теорема 1 (необходимое условие Вейерштрасса для сильного минимума). Выполнение неравенства
во всех точках экстремали
при любом конечном векторе Q необходимо, чтобы экстремаль (2) давала функционалу сильный минимум. Доказательство. Допустим, что для некоторого значения вектора Q, назовём его
Для определённости примем, что
где вектор
и, значит, определённым образом зависит от величины
при
Черт. 4. Наша задача состоит в том, чтобы показать, что разность
может быть сделана отрицательной при надлежащем выборе h. С этой целью вычислим Кроме того, дифференцирование по h равенства (4) даёт
откуда, полагая h = 0, находим:
Используя (5), (6) и (3), получаем, что
Так как Из доказанной теоремы без труда получается Теорема 2 (необходимое
во всех точках экстремали
для любых вещественных
где
В силу этого соотношения и неравенства (8) будем иметь
Поэтому для всех достаточно малых t > 0
Теперь остаётся положить
и взять использованную при доказательстве теоремы 1 кривую
которая уже будет зависеть не только от h, но и от t. Мы найдём тогда, что при достаточно малых h > 0, t > 0
а с другой стороны, кривая (9) при достаточно малых h > 0, t > 0 лежит в сколь угодно малой слабой окрестности экстремали (2). Тем самым теорема 2 доказана.
|
1 |
Оглавление
|