23. Вариация функционалов, зависящих от производных высших порядков.

Рассмотрим вначале простой интеграл

в классе функций у(х), имеющих непрерывные производные до (n-1)-го порядка включительно, и кусочно-непрерывную производную порядка n.

Кривые у = у(х) должны лежать в некоторой области G плоскости х, у и удовлетворять заданным краевым условиям

Класс всех таких кривых (будем называть их допустимыми) обозначим через Что касается функции то мы предположим, что она обладает непрерывными по совокупности всех своих аргументов производными до (n+1)-го порядка включительно, когда имеют любые конечные значения. Ищется экстремум функционала в классе . Это — задача об абсолютном экстремуме. Вводя естественным образом окрестности различных порядков от нулевого до можем ставить задачи об относительном экстремуме различных порядков и среди них выделить два — слабый ( порядка) и сильный (нулевого порядка).

Займёмся определением основного условия, необходимого для того, чтобы допустимая кривая лежащая внутри G (за возможным исключением концов), давала функционалу экстремум (безразлично, какой). Это условие получится, если мы приравняем нулю первую вариацию функционала Погружаем кривую у = у(х) в однопараметрическое семейство, полагая

где функция имеет непрерывные производные до порядка включительно и кусочно-непрерывную производную порядка и и удовлетворяет краевым условиям

Прежде всего имеем:

Интегрируя по частям и используя краевые условия (2), находим, что

Дальнейшее интегрирование по частям даёт

Продолжая это преобразование, получим:

где

Первая вариация (3) должна равняться нулю при любом выборе функции , удовлетворяющей приведённым выше условиям. Докажем , что отсюда следует равенство

где — некоторые постоянные.

Действительно, определим постоянные так, чтобы

при . Это возможно, так как система уравнений (4) относительно может быть представлена в виде

и её определитель отличен от нуля:

Найдя таким образом числа положим

Эта функция имеет нужные производные и удовлетворяет условиям (2), так как

и равенства

очевидны, а равенства

следуют из (4). Поэтому

или

но в силу соотношений (4) это равенство можно переписать в виде

откуда и вытекает наше утверждение.

Мы доказали, что функция доставляющая функционалу (1) экстремум, а также всякая функция, обращающая в нуль его первую вариацию, удовлетворяет интегральному уравнению

где — некоторые константы. В каждом интервале, где функция имеет непрерывную производную порядка n, она поэтому удовлетворяет уравнению

Если функция имеет производную порядка то мы получим отсюда дифференциальное уравнение

являющееся обобщением уравнения Эйлера—Лагранжа

последнее получается из (5) при .

Уравнение, аналогичное (5), может быть получено и для кратного интеграла. Ограничимся формулировкой результата для случая двойного интеграла и для простоты примем . В этом случае функционал имеет вид

где функцию будем считать трижды непрерывно дифференцируемой по всем аргументам.

Если функция и имеет непрерывные производные первых четырёх порядков и даёт функционалу (6) экстремум, то она должна удовлетворять уравнению в частных производных