29. Некоторые вспомогательные рассмотрения.
В силу доказанных в предыдущем параграфе соотношений (6) и (7)
и
Из (2) вытекает, что
Поэтому
Отсюда на основании равномерной сходимости последовательности 
следует, что
а потому при любом фиксированном с из интервала 
и достаточно малом 
и подавно
Так как функция 
абсолютно непрерывна, то отношение
для почти всех х стремится к 
при 
. Поэтому по известной теореме Фату из (3) следует, что функция 
интегрируема в смысле Лебега и
Отсюда
так как с — произвольная точка интервала 
.
Неравенства (1) и (4) выражают, что как функции 
, так и функция 
принадлежат так называемому пространству 
.
Теперь мы докажем, что последовательность 
слабо сходится к 
. Понятие о слабой сходимости является одним из основных и общих понятой функционального анализа. В нашем случае оно означает, что
какова бы ни была функция 
, измеримая и удовлетворяющая неравенству
иначе говоря, принадлежащая 
[причём q определяется равенством (8) п° 28].
Чтобы доказать это свойство, придётся воспользоваться следующим фактом из теории приближённого представления функций: для любой функции можно при любом 
найти многочлен 
степени 
, такой, что
Так как из (1) и (4) следует, что
то по неравенству Гельдера
Поэтому
и достаточно доказать, что для любого многочлена 
Но
и подлежащее доказательству равенство (6) вытекает из равномерной сходимости последовательности 
.
