3. Первое необходимое условие для экстремума.

Классический метод решения задач вариационного исчисления в некотором смысле аналогичен методу решения элементарных задач на экстремум, излагаемому в дифференциальном исчислении. Сначала выводят некоторые уравнения (они оказываются здесь дифференциальными), которым должна удовлетворять искомая вектор-функция (кривая), если она существует. Затем решают эти уравнения. После нахождения решения выясняют, удовлетворяет ли это решение дальнейшим условиям. Удовлетворение упомянутому уравнению есть, таким образом, первое необходимое условие для экстремума. Выводу этого условия и посвящён настоящий параграф.

Если некоторое условие необходимо для того, чтобы кривая давала слабый относительный экстремум, то оно и подавно необходимо для того, чтобы эта кривая давала сильный относительный экстремум, и тем более необходимо, чтобы кривая давала экстремум абсолютный.

Поэтому при выводе необходимых условий в первую очередь следует рассмотреть слабый относительный экстремум.

Пусть кусочно-гладкая дуга лежит целиком внутри G и даёт функционалу слабый экстремум. Возьмём какую-нибудь кусочно-гладкую вектор-фунцию , удовлетворяющую условиям

Функция

для всех достаточно малых по модулю принадлежит некоторой слабой окрестности функции Условия на концах интервала в силу (1) также удовлетворяются. Поэтому функционал рассматриваемый на совокупности функций (2), должен иметь экстремум на функции для которой . Но

Следовательно,

Дифференцирование по параметру даёт

Обозначая

получаем:

Таким образом, условие (3) принимает вид

С помощью интегрирования по частям находим:

Принимая во внимание (1), можем переписать (4) в виде

До сих пор вектор-функция оставалась неопределённой. Теперь мы выберем её надлежащим образом. А именно положим

и примем

Это — непрерывные функции с кусочно-непрерывными первыми производными. Равенства очевидны, а равенства следуют из выбора величин Теперь соотношение (5) можно переписать в виде

или

так как в силу выбора постоянных

Из (7) вытекает, что

Таким образом, получен следующий результат: если кусочно-гладкая дуга лежит внутри G и даст хотя бы слабый относительный экстремум функционалу то существуют такие константы при которых вектор-функция удовлетворяет уравнениям

Эти уравнения мы будем называть уравнениями, Эйлера — Лагранжа в интегральной форме.

Легко видеть, что результат верен и в том случае, когда внутри G лежат только внутренние точки дуги .

Заметим также, что при выводе уравнений (8) существование производной использовано но было.

Покажем теперь, что вектор-функция удовлетворяет также уравнению

где С — некоторая постоянная.

Доказательство. Если перейти от координат к другим прямолинейным координатам так, чтобы новые оси образовывали достаточно малые углы с исходными, то уравнение кривой

в новых координатах будет иметь аналогичный вид

и всякая кривая

из достаточно малой слабой окрестности кривой (11) также будет представима уравнением

и будет лежать в некоторой слабой окрестности кривой (10). Поэтому, преобразовав функционал к новым переменным, мы сможем утверждать, что вектор-функция должна удовлетворять уравнениям Эйлера — Лагранжа в интегральной форме для преобразованного функционала. Перейдя затем в этих уравнениях к старым координатам, мы получим некоторые уравнения, которым должна удовлетворять вектор-функция .

Этими общими соображениями мы и воспользуемся применительно к следующим формулам преобразования координат:

где есть постоянная с достаточно малым численным значением. Функционал

после преобразования примет вид

причём дифференцирование по и обозначено точной. Напишем теперь для функции первое из уравнений Эйлера — Лагранжа в интегральной форме. Оно имеет вид

Преобразуя это уравнение к старым переменным, получим уравнение

которому должна удовлетворять вектор-функция Сопоставляя это уравнение с первым из уравнений (8), находим, что вектор-функция действительно удовлетворяет уравнению (9).

4. Следствия из первого необходимого условия.

А. Если кусочно-гладкая вектор-функция доставляет функционалу

хотя бы слабый относительный экстремум, то в каждой части интервала где производная непрерывна, вектор-функция удовлетворяет уравнениям

а в каждой точке где терпит разрыв (угловая точка), — условиям

Доказательство. Если в некотором интервале функция непрерывна, то в этом интервале непрерывны функции Поэтому в рассматриваемом интервале имеют непрерывную производную первого порядка функции

Это даёт возможность продифференцировать равенства (8), после предварительной замены в них Y на .

Соотношения (3) вытекают из того, что в каждой угловой точке величины (4) непрерывны, так что должны быть непрерывны и соответственно равные им величины

Уравнения (1) носят название уравнений Эйлера — Лагранжа (в дифференциальной форме).

Равенства (3) носят название соотношений (или условий) Вейерштрасса — Эрдмана.

Всякое гладкое, то-есть непрерывно дифференцируемое, решение уравнений и, значит, уравнений (1) называют экстремалью функционала . Далее, всякую кривую, составленную из кусков экстремалей и удовлетворяющую в угловых точках условиям Вейерштрасса — Эрдмана, называют ломаной .

Б. Если подынтегральная функция явно не содержит компоненты вектора Y (но содержит ), то уравнения Эйлера — Лагранжа допускают первый интеграл

Если функционал имеет вид

то вектор-функция доставляющая ему хотя бы слабый экстремум, удовлетворяет уравнению

Особое значение эти выводы имеют при когда для определения экстремалей нужно лишь одно уравнение.

В. В классе дважды дифференцируемых вектор-функций уравнения (1) и (2) являются дифференциальными уравнениями второго порядка и уравнение (2) есть следствие уравнений (1).

Доказательство. Нуждается в доказательстве лишь второе утверждение. Но если в уравнении (2) выполнить дифференцирование, то оно примет вид

откуда и вытекает, что уравнение (2) есть следствие уравнений (1).

Из формулы (5) непосредственно видно также, что если дважды дифференцируемая вектор-функция удовлетворяет в некотором интервале уравнению (2) и всем уравнениям (1), кроме одного из них, скажем и если в этом интервале то удовлетворяет также и k-му уравнению.