25 (25). Задача Кельвина.

В плоскости х, у, которая покрыта массой с непрерывной плотностью , дана кусочно-гладкая кривая С и на ней две точки (черт. 18). Среди всех кривых заданной длины L, соединяющих точки , найти ту, которая вместе с дугой кривой С ограничивает область с максимальной массой. При этом точки могут совпадать.

Решение. Введём функцию

Тогда

Правая часть равна сумме двух интегралов: одного, взятого вдоль кривой L, и другого, взятого вдоль дуги кривой С и имеющего наперёд известное значение, которое мы обозначим через К. Поэтому

и задача состоит в нахождении максимума функционала

при условии, что

Вводим вспомогательную функцию

и составляем уравнение Эйлера—Лагранжа в форме Вейерштрасса. Оно имеет вид

Черт. 18.

где — радиус кривизны искомой кривой. В силу определения функции V полученное уравнение (1) приводится к следующему:

В частном случае, когда , мы получаем изопериметрическую задачу в узком смысле, а из уравнения (2) следует, что в этом случае экстремалями являются окружности.

26 (25). Изопериметрическая задача в узкой смысле, частично рассмотренная в предыдущем параграфе, допускает различные методы решения. Мы покажем здесь, во-первых, что она может быть сведена к задаче на безусловный экстремум и, во-вторых, что она может быть полностью решена с помощью особого применения тригонометрических рядов.

а) Прежде всего заметим, что длина замкнутой кривой не изменится, если мы какую-нибудь её дугу заменим дугой, симметричной относительно её хорды. Поэтому искомая кривая должна быть выпуклой и если две точки делят её на две дуги равной длины, то площади фигур, ограниченных каждой из этих дуг и их общей хордой, должны быть одинаковыми. На основании сказанного изопериметрическая задача сводится к следующей: из всех лежащих в верхней полуплоскости и имеющих заданную длину дуг с концами на оси Ох, один из которых задан (скажем, ), найти ту, которая образует наибольшую площадь с осью Ох.

Допустимые кривые представляются уравнениями

причём функции связаны соотношением

и удовлетворяют условиям

Функционал, максимум которого надлежит найти, имеет

Перед нами типичная задача Лагранжа. Однако из уравнения связи легко найти , что позволяет привести функционал J к виду

при условиях

Мы пришли к простейшей задаче вариационного исчисления. Нужно лишь подчеркнуть, что из вида подинтегральной функции

вытекает ограничение

накладываемое на z. Это обстоятельство не препятствует, однако, применению общей теории, так как при её построении мы лишь для простоты предполагали, что z может принимать любые конечные значения.

Уравнение Эйлера — Лагранжа имеет первый интеграл

откуда

Краевые условия (2) и требование позволяют определить произвольные постоянные , и мы находим:

С помощью уравнения связи и условия

определяется х в виде

Что функция (3) действительно доставляет функционалу (1) сильный минимум, доказывается без труда применением общих критериев.

б) Уравнения всякой замкнутой кривой, имеющей длину L, можно представить в вице

где s — длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой точки. Абсолютная и равномерная сходимость этих рядов вытекает из того, что функции удовлетворяют условию Коши — Липшица:

Из этих неравенств следует также, что производные почти всюду существуют и численно не превосходят единицы, а потому эти производные и их квадраты интегрируемы. Следовательно,

и ко всем четырём функциям применимо равенство Парсеваля—Ляпунова.

Пользуясь этим равенством, находим следующие выражения для длины кривой и ограниченной ею площади S:

Из этих формул вытекает, что

Таким образом, для любой замкнутой кривой длины L

В этом неравенстве может иметь место знак равенства, и тогда мы получим кривую длины L, ограничивающую наибольшую площадь. Это будет в том и только том случае, если

то-есть только при

где в силу (4)

Но из (5) следует, что

так что экстремальная кривая есть окружность радиуса

27 (26). Пусть

— уравнение гладкой поверхности. Показать, что вдоль каждой её геодезической главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности.

Решение. Примем, что вдоль некоторого куска геодезической линии

В таком случае этот кусок является условной экстремалью функционала

при связи (1) и в силу правила множителей Лагранжа безусловной экстремалью фупкционала

где — некоторая функция от х или, если угодно, от s. Таким образом, вдоль рассматриваемого куска геодезической

Но

Поэтому уравнения (3) можно представить в виде

или

где — некоторая новая функция. Из уравнения поверхности и тождества

следует, что вдоль геодезической

Умножая первое из этих соотношений на и вычитая из второго, получаем:

Учитывая (4) и (2), находим, что вдоль рассматриваемого куска геодезической, кроме (4), имеет место также соотношение

Тем самым требуемое свойство геодезической доказано.