22. Вариация двойных интегралов.

Рассмотрим функционал

в котором функция f{x,y,u,p,q) имеет непрерывные по совокупности всех своих аргументов производные первых двух порядков для любых коночных р, q, когда точка (х, у, u) принадлежит заданной пространственной области G. В этой области G дана некоторая непрерывная замкнутая пространственная кривая L, различные точки которой имеют различные проекции на плоскость х, у. Пусть проекция этой кривой на плоскость х, у есть кусочно-гладкая кривая С, ограничивающая область D. Рассматривается совокупность всех кусочно-гладких поверхностей

лежащих в G и содержащих L (мы называем их в дальнейшем допустимыми). Пусть известно, что существуют допустимые поверхности, на которых имеет конечное значение. Задача состоит в том, чтобы найти поверхности, на которых функционал имеет экстремальные значения. Это — задача об абсолютном экстремуме, но нетрудно определить окрестности данной поверхности — сильную и слабую, а затем поставить задачи об относительном экстремуме (сильном и слабом).

Мы ограничимся здесь выводом первого необходимого условия, то-есть того уравнения, которым определяются поверхности, могущие доставить экстремум.

Пусть допустимая поверхность

даёт функционалу (1) хотя бы слабый экстремум. Пусть далее известно, что функция имеет непрерывные производные второго порядка.

Докажем, что в таком случае удовлетворяет уравнению

Это уравнение является уравнением Эйлера — Лагранжа для рассматриваемого теперь функционала, а всякая его интегральная поверхность называется экстремалью.

Заметим, что в отличие от простейшей задачи, где мы вначале получили уравнение Эйлера - Лагранжа в интегральной форме, а затем доказали существование второй производной у каждой неособенной экстремали, здесь мы предполагаем с самого начала, что функция имеет непрерывные производные второго порядка. Построение теории без этого предположения хотя и возможно, но несколько сложно и так далеко, как для простейшей задачи не простирается.

Для доказательства сформулированного предложения составим и приравняем нулю первую вариацию функционала (1).

Чтобы погрузить поверхность (2) в однопараметрическое семейство допустимых поверхностей, достаточно положить

где — произвольная гладкая или кусочно-гладкая функция, равная нулю на кривой С. Первая вариация функционала равна

Замечая, что

а также, что

так как на крйвой С, приведём к виду

Таким образом, необходимое условие для экстремума имеет вид

(4)

Здесь С — произвольная функция указанного выше класса, равная нулю на С. Остаётся доказать, что в силу этого в каждой точке области D должен равняться нулю множитель при С в подинтегральной функции. Допуская противное, примем, что в некоторой внутренней точке области D величина

отлична от нуля, например положительна. В силу непрерывности она будет положительна и в круге с достаточно малым радиусом р и центром в точке . Положим

где . Эта функция равна нулю на С и непрерывно дифференцируема раз во всей плоскости, если .

В силу общего равенства (4)

а с другой стороны,

Полученное противоречие и доказывает утверждение.

Дифференциальное уравнение (3), по крайней мере для частных случаев, восходит к Лагранжу (1760—1761, Miscellanea Taurinensia, том 2). Так, ему принадлежит постановка задачи о минимальных поверхностях. В этой задаче функционалом является площадь куска поверхности с заданным краем L, которая равна

если берётся обычная форма ураннения поверхности. Уравнение для определения минимальных поверхностей на основании (3) напишется в виде

Как заметил Лагранж, это уравнение выражает, что

есть полный дифференциал.

Ураннение (5) можно переписать в виде

где

Геометрический смысл последнего уравнения заключается в том, что средняя кривизна поверхности в каждой точке равна нулю. Это впервые обнаружил Менье (1776).

Общее выражение для вариации интеграла любой кратности и притом не только в случае фиксированной границы, но и в общем случае, когда допускается варьирование границы, впервые получено в 1834 году М. В. Остроградским.

Обобщение результата настоящего параграфа на случай тройного интеграла, если граница фиксирована, особого труда не представляет и может быть рекомендовано читателю в качестве упражнения. Отметим лишь, что для этого обобщения необходима (при n = 3) следующая лемма вариационного исчисления:

Если — непрерывная функция в некоторой конечной n-мерной области G и если

для всякой функции С, равной нулю на границе области G и непрерывно дифференцируемой некоторое фиксированное число раз т в замыкании G, то всюду в G

Эта лемма доказывается для любого n точно так же, как она выше была доказана для n = 2.