7. О существовании экстремалей.

Теорема. Если

есть неособенный элемент относительно функционала

то существует одна и только одна гладкая вектор-функция

определённая в некоторой окрестности точки удовлетворяющая уравнениям

и содержащая элемент (1), то-есть такая, что

Доказательство. Припоминая введённые в п° 6 обозначения рассмотрим систему дифференциальных уравнений

которая при сводится к одному уравнению

В некоторой окрестности элемента (1) правде части уравнений (4) непрерывны, а по аргументам удовлетворяют условиям Коши — Липшица.

В силу теоремы существования из теории обыкновенных дифференциальных уравнений система (4) имеет в некоторой окрестности точки одно и только одно решение удовлетворяющее условиям (3). Это решение очевидно, удовлетворяет и уравнениям (2). Таким образом, доказано, что система (2) имеет гладкое решение, удовлетворяющее условиям (3). Остаётся доказать, что это решение единственно. Но в силу теоремы Гильберта (п°6), которая здесь применима, так как элемент (1) неособенный, всякое гладкое решение системы (2), удовлетворяющее условиям (3), будет иметь вторую производную, в некоторой окрестности точки а потому будет удовлетворять системе (4), которая имеет только одно решение.

Тем самым теорема доказана.

Преобразуя систему Эйлера — Лагранжа (2) в систему (4), мы, строго говоря, сводим систему Эйлера — Лагранжа к нормальной системе из уравнений первого порядка, а именно:

Теперь покажем другой способ сведения системы уравнений Эйлера — Лагранжа к нормальной системе уравнений первого порядка. Мы имеем в виду преобразование к каноническому еиду.

Обозначим через 4 окрестность элемента (1), состоящую исключительно из неособенных относительно нашего функционала элементов , в рассмотрим в вектор-функцию с компонентами

Формулы

отображают на некоторую область Г пространства Так как элемент (1) неособенный, то, уменьшая в случае нужды окрестность , мы сможем добиться взаимной однозначности отображения . Это даст возможность рассматривать Z как вектор-функцию в области Г:

Заметим, что функции дважды непрерывно дифференцируемы, так как этим свойством обладают в правые части формул , а якобиан этих правых частей по отличен от нуля всюду в области Д. Теперь построим функцию , полагая

и заменяя в правой части вектор Z с помощью (6).

Будем дифференцировать (7) по переменным Мы получим тогда, что

Теперь преобразуем систему Эйлера — Лагранжа к переменным . Уравнения

в силу и (82) принимают вид

при условии, что

А так как на основании и (6) эти условия можно записать в виде

то система уравнений Эйлера—Лагранжа преобразована в каноническую систему

Вместо переменных мы имеем здесь канонические переменные .

Теорема о существовании экстремалей, которая установлена в настоящем параграфе, носит локалхный характер. Вопрос о существовании экстремалей в целом, то-есть вопрос о существовании экстремалей, соединяющих две произвольные точки области, представляет значительные трудности и решён лишь при тех или иных дополнительных предположениях относительно вида функции и области. Ниже мы несколько остановимся на этом вопросе.