Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7. О существовании экстремалей.Теорема. Если
есть неособенный элемент относительно функционала
то существует одна и только одна гладкая вектор-функция
определённая в некоторой окрестности точки
и содержащая элемент (1), то-есть такая, что
Доказательство. Припоминая введённые в п° 6 обозначения
которая при
В некоторой окрестности элемента (1) правде части В силу теоремы существования из теории обыкновенных дифференциальных уравнений система (4) имеет в некоторой окрестности точки Тем самым теорема доказана. Преобразуя систему Эйлера — Лагранжа (2) в систему (4), мы, строго говоря, сводим систему Эйлера — Лагранжа к нормальной системе из
Теперь покажем другой способ сведения системы уравнений Эйлера — Лагранжа к нормальной системе уравнений первого порядка. Мы имеем в виду преобразование к каноническому еиду. Обозначим через 4 окрестность элемента (1), состоящую исключительно из неособенных относительно нашего функционала элементов
Формулы
отображают
Заметим, что функции
и заменяя в правой части вектор Z с помощью (6). Будем дифференцировать (7) по переменным
Теперь преобразуем систему Эйлера — Лагранжа к переменным
в силу
при условии, что
А так как на основании
то система уравнений Эйлера—Лагранжа преобразована в каноническую систему
Вместо переменных Теорема о существовании экстремалей, которая установлена в настоящем параграфе, носит локалхный характер. Вопрос о существовании экстремалей в целом, то-есть вопрос о существовании экстремалей, соединяющих две произвольные точки области, представляет значительные трудности и решён лишь при тех или иных дополнительных предположениях относительно вида функции
|
1 |
Оглавление
|