Главная > Лекции по вариационному исчислению
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7. О существовании экстремалей.

Теорема. Если

есть неособенный элемент относительно функционала

то существует одна и только одна гладкая вектор-функция

определённая в некоторой окрестности точки удовлетворяющая уравнениям

и содержащая элемент (1), то-есть такая, что

Доказательство. Припоминая введённые в п° 6 обозначения рассмотрим систему дифференциальных уравнений

которая при сводится к одному уравнению

В некоторой окрестности элемента (1) правде части уравнений (4) непрерывны, а по аргументам удовлетворяют условиям Коши — Липшица.

В силу теоремы существования из теории обыкновенных дифференциальных уравнений система (4) имеет в некоторой окрестности точки одно и только одно решение удовлетворяющее условиям (3). Это решение очевидно, удовлетворяет и уравнениям (2). Таким образом, доказано, что система (2) имеет гладкое решение, удовлетворяющее условиям (3). Остаётся доказать, что это решение единственно. Но в силу теоремы Гильберта (п°6), которая здесь применима, так как элемент (1) неособенный, всякое гладкое решение системы (2), удовлетворяющее условиям (3), будет иметь вторую производную, в некоторой окрестности точки а потому будет удовлетворять системе (4), которая имеет только одно решение.

Тем самым теорема доказана.

Преобразуя систему Эйлера — Лагранжа (2) в систему (4), мы, строго говоря, сводим систему Эйлера — Лагранжа к нормальной системе из уравнений первого порядка, а именно:

Теперь покажем другой способ сведения системы уравнений Эйлера — Лагранжа к нормальной системе уравнений первого порядка. Мы имеем в виду преобразование к каноническому еиду.

Обозначим через 4 окрестность элемента (1), состоящую исключительно из неособенных относительно нашего функционала элементов , в рассмотрим в вектор-функцию с компонентами

Формулы

отображают на некоторую область Г пространства Так как элемент (1) неособенный, то, уменьшая в случае нужды окрестность , мы сможем добиться взаимной однозначности отображения . Это даст возможность рассматривать Z как вектор-функцию в области Г:

Заметим, что функции дважды непрерывно дифференцируемы, так как этим свойством обладают в правые части формул , а якобиан этих правых частей по отличен от нуля всюду в области Д. Теперь построим функцию , полагая

и заменяя в правой части вектор Z с помощью (6).

Будем дифференцировать (7) по переменным Мы получим тогда, что

Теперь преобразуем систему Эйлера — Лагранжа к переменным . Уравнения

в силу и (82) принимают вид

при условии, что

А так как на основании и (6) эти условия можно записать в виде

то система уравнений Эйлера—Лагранжа преобразована в каноническую систему

Вместо переменных мы имеем здесь канонические переменные .

Теорема о существовании экстремалей, которая установлена в настоящем параграфе, носит локалхный характер. Вопрос о существовании экстремалей в целом, то-есть вопрос о существовании экстремалей, соединяющих две произвольные точки области, представляет значительные трудности и решён лишь при тех или иных дополнительных предположениях относительно вида функции и области. Ниже мы несколько остановимся на этом вопросе.

1
Оглавление
email@scask.ru