2. Абсолютный и относительный экстремумы.

Наряду с экстремумом во всей совокупности о котором сказано выше и который называют абсолютным, мы будем рассматривать ещё и относительные экстремумы, для определения которых необходимо ввести понятие об окрестности функции (или кривой).

Окрестностью нулевого порядка, или сильной окрестностью, непрерывной вектор-функции называется совокупность всех непрерывных вектор-функций для которых при

где — некоторое число, характеризующее рассматриваемую окрестность (-окрестность).

Окрестностью первого порядка, или слабой окрестностью, кусочно-гладкой вектор-функции называется совокупность всех кусочно-гладких вектор-функций для которых, кроме (1), выполняется ещё неравенство

во всякой точке интервала где существуют.

Если кривая даёт экстремум функционалу не во всей совокупности а лишь в некоторой принадлежащей окрестности кривой то экстремум называют относительным и притом сильным или слабым в зависимости от того, является ли эта окрестность сильной или слабой.

Кривая, доставляющая экстремум в некоторой совокупности кривых сравнения, может перестать его давать после расширения этой совокупности кривых. Поэтому кривая, доставляющая слабый экстремум, может не давать сильного и тем более абсолютного. В связи с этим представляет интерес следующее предложение:

Если гладкая кривая даёт функционалу экстремум в классе всех допустимых гладких кривых, принадлежащих некоторой слабой её окрестности, то она доставляет функционалу экстремум также в классе всех допустимых кусочно-гладких кривых, принадлежащих той же слабой окрестности, иначе говоря, она доставляет функционалу слабый экстремум в смысле данного нами определения.

Доказательство этого предложения получается с помощью так называемого округления углов.

Принимая, что экстремумом является минимум, достаточно доказать, что если в слабой -окрестности гладкой кривой имеется допустимая кусочно-гладкая кривая для которой

то в той же окрестности найдётся и допустимая гладкая кривая для которой, по крайней мере,

Черт. 2

Примем для простоты, что кривая имеет всего одну угловую точку . Отберём те компоненты вектор-функции для которых является точкой разрыва производной, и построим в каждой из плоскостей кривые (черт. 2)

Кривая лежит в полосе ширины , построенной вдоль кривой . Возьмём на кривой две точки с абсциссами , где достаточно мало, и соединим их такой кривой

лежащей в упомянутой полосе ширины чтобы

Вне интервала положим

и построим функцию

Если S достаточно мало, то кривая так построенная, будет лежать в слабой -окрестности кривой и, кроме того, будет иметь место неравенство

что и доказывает наше утверждение.

Переход от кривой к кривой происходит с помощью округления угла.