25. Изопериметрическая задача

в первоначальном или узком смысле гласит: среди всех замкнутых плоских кривых заданной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь.

Решением этой задачи, как известно, является окружность. Этот результат, а также его пространственный аналог восходят к глубокой древности.

На языке анализа формулировка изопериметрической задачи такова: найти максимум функционала (в параметрической форме)

при связи

где L задано, и условиях

Таким образом, здесь идёт речь об экстремуме некоторого функционала при условии, что другой функционал должен иметь заданное значение. Все задачи на условный экстремум подобного рода и принято называть изопериметрическими (в широком смысле).

Рассмотрим основной случай, когда функционалами являются простые интегралы (а не кратные) и когда концы кривых зафиксированы.

В таком случае подлежащая нашему изучению задача состоит в следующем:

Среди всех кусочно-гладких вектор-функций принимающих заданные значения на концах интервала найти ту, которая доставляет экстремум функционалу

при связях

Функции определены и имеют непрерывные по совокупности всех своих аргументов производные второго порядка, когда точка принадлежит некоторой области G пространства а вектор Z пробегает любые конечные значения.

Заметим, что в этой задаче допустимой вектор-функцией является лишь та, которая, кроме условии на концах, удовлетворяет связям (1). Поэтому при произвольно выбранных значениях множество допустимых вектор-функций может оказаться пустым.

Мы ограничимся доказательством следующей принадлежащей Эйлеру теоремы, которая носит название правила множителей для изопериметрической задачи.

Теорема. Если кусочно-гладкая кривая , лежащая (за возможным исключением концов) внутри G, даёт функционалу экстремум при связях (1), то существуют такие константы что кривая является для функционала

обычной (безусловной) экстремалью, то-есть экстремалью, отвечающей свободному, не стеснённому какими-либо связями варьированию.

Значение этой теоремы состоит в том, что она позволяет найти все те кривые, которые могут доставить решение изопериметрнческой задачи. Действительно, с этой целью вужно составить уравнения Эйлера—Лагранжа для функционала (2), считая неизвестными параметрами. При интегрировании этих уравнений появятся ещё неизвестных постоянных, так что всех постоянных будет Для их определения имеется к уравнений (1) и 2n краевых условий.

Для доказательства правила множителей построим функции

где константы подобраны так, что

и введём вектор-функции

Правило множителей будет доказано, если мы установим, что вектор-функции

линейно зависимы. В самом деле, линейная зависимость этих вектор-функций означает, что существуют константы для которых

Но эти соотношения можно переписать в виде

где

и, следовательно, линейная зависимость вектор-функций (4), действительно, означает, что есть безусловная экстремаль для функционала (2).

Для доказательства линейной зависимости вектор-функций (4) мы должны, в соответствии со сказанным в предыдущем параграфе, доказать, что равен нулю определитель Грама

где

При этом мы можем принять, что

так как в противном случае существовала бы лилейная зависимость уже между вектор-функциями

Проварьируем теперь вектор-функцию , полагая

где - достаточно малые по абсолютной величине числа. В компонентах равенство (7) имеет вид

То, что разность

для любых обращается в нуль при х = а, очевидно, а из (2) следует, что эта разность обращается в нуль также при . Таким образом, вектор-функция Y(х) удовлетворяет краевым условиям при любых . С другой стороны, если мы положим

то

и

так что

В силу (9) и предположения (6) в достаточно малой окрестности точки уравнения

определяют величины как непрерывно дифференцируемые функции от обращающиеся в нуль при . А так как функция имеет в точке экстремум при связях (10), то на основании элементарного правила множителей (см. стр. 122) ранг матрицы

должен быть меньше, чем то-есть определитель

должен равняться нулю, что в силу (8) и означает равенство нулю определителя Грама (5). Доказательство закончено.