30. Теорема об абсолютном минимуме.

Возвратимся к нашей задаче. Пока доказано, что в совокупности существует минимизирующая последовательность , равномерно сходящаяся к некоторой функции , а также доказано, что последовательность производных в разъяснённом выше смысле слабо сходится к . При этом было использовано лишь условие (4) п° 28. Теперь сделаем ещё одно предположение о функции f(x,y,z). Оно может рассматриваться как некоторый ослабленный вариант предположения о квазирегулярности функционала и состоит в следующем: функция f(x,y,z) имеет непрерывную производную , и для любой точки эта производная есть неубывающая функция от . Используя это свойство функции f{x,y,z), мы докажем неравенство

откуда и будет следовать, что

то-есть что функционал при сделанных предположениях относительно функции f(x, у, z) имеет абсолютный минимум на совокупности ЭД всех абсолютно непрерывных функций, удовлетворяющих условию (2) и связям (3) п° 28. Эта важная теорема принадлежит Тонелли.

Приступая к доказательству соотношения (1), обозначим через Ем множество точек интервала , в которых

Далее возьмём тождество

где есть константа формулы (4) п° 28. Так как равномерно стремится к , то для любого можно найти так, что при в каждой точке множества

поэтому из написанного выше тождества следует, что при

С другой стороны, в силу монотонности функции справедливо нсрагенство

А так как , то из неравенства (2) следует неравенство

Нетрудно проверить, что второй и третий интегралы правой части стремятся к нулю при . Действительно, если положить

то , а потому

в силу слабой сходимости последовательности . С другой стороны, с помощью неравенства Гельдера и формулы (5) п° 29 находим:

А так как на множестве разность

равномерно стремится к нулю при , то

После предельного перехода () неравенство (3) принимает вид

или

Отсюда, увеличивая неограниченно M, находим:

или

Так как произвольно, то неравенство (1) доказано, а вместе с ним доказана и теорема о минимуме.