30. Теорема об абсолютном минимуме.
Возвратимся к нашей задаче. Пока доказано, что в совокупности
существует минимизирующая последовательность
, равномерно сходящаяся к некоторой функции
, а также доказано, что последовательность производных
в разъяснённом выше смысле слабо сходится к
. При этом было использовано лишь условие (4) п° 28. Теперь сделаем ещё одно предположение о функции f(x,y,z). Оно может рассматриваться как некоторый ослабленный вариант предположения о квазирегулярности функционала и состоит в следующем: функция f(x,y,z) имеет непрерывную производную
, и для любой точки
эта производная есть неубывающая функция от
. Используя это свойство функции f{x,y,z), мы докажем неравенство
откуда и будет следовать, что
то-есть что функционал
при сделанных предположениях относительно функции f(x, у, z) имеет абсолютный минимум на совокупности ЭД всех абсолютно непрерывных функций, удовлетворяющих условию (2) и связям (3) п° 28. Эта важная теорема принадлежит Тонелли.
Приступая к доказательству соотношения (1), обозначим через Ем множество точек интервала
, в которых
Далее возьмём тождество
где
есть константа формулы (4) п° 28. Так как
равномерно стремится к
, то для любого
можно найти
так, что при
в каждой точке множества
поэтому из написанного выше тождества следует, что при
С другой стороны, в силу монотонности функции
справедливо нсрагенство
А так как
, то из неравенства (2) следует неравенство
Нетрудно проверить, что второй и третий интегралы правой части стремятся к нулю при
. Действительно, если положить
то
, а потому
в силу слабой сходимости последовательности
. С другой стороны, с помощью неравенства Гельдера и формулы (5) п° 29 находим:
А так как на множестве
разность
равномерно стремится к нулю при
, то
После предельного перехода (
) неравенство (3) принимает вид
или
Отсюда, увеличивая неограниченно M, находим:
или
Так как
произвольно, то неравенство (1) доказано, а вместе с ним доказана и теорема о минимуме.