Главная > Лекции по вариационному исчислению
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

20 (4, 10). Вариационные принципы механики.

Будем рассматривать механическую систему, всевозможные положения которой определяются значениями n независимых обобщённых координат . Пусть силы, действующие на систему, имеют силовую функцию U, которая может явно зависеть и от времени t. Живую силу системы обозначим через Т; это есть многочлен второй степени от обобщённых скоростей , коэффициенты которого являются функциями от обобщённых координат и, возможно, от времени.

В таком случае уравнения движения системы, как это известно из механики, можно представить в виде

где

есть так называемая функция Лагранжа рассматриваемой системы.

Но уравнения (1) являются уравнениями Эйлера — Лагранжа для функционала

Отсюда вытекает следующая теорема:

Если даны положения системы в начальный момент и конечный момент , то для определения движения системы служит уравнение

иначе говоря, функции

описывающие движение системы из данного начального ее положения в данное конечное положение, доставляют стационарное значение интегралу (2).

Это предложение носит название начала (или принципа) стационарного действия Гамильтона — Остроградского и может быть положено в основу динамики системы. Так как в формулировке этого начала участвуют лишь живая сила и силовая функция, то начало Гамильтона — Остроградского легко распространяется на механические системы с бесчисленным множеством степеней свободы, которые приходится рассматривать в механике сплошной среды. Это начало применяется также и в других разделах теоретической физики и притом не только классической, но и релятивистской.

Другим важным, но менее общим вариационным принципом динамики является принцип Мопертюи—Лагранжа.

Он применим только в том случае, когда силовая функция U явно времени не содержит, а живая сила Т является квадратичной формой от обощённых скоростей с коэффициентами, зависящими только от обобщённых координат:

Уравнения движения (1) в этом случае имеют первый интеграл

где h — постоянная. Нетрудно привести это равенство к виду

выражающему постоянство энергии системы и поэтому носящему название интеграла энергии.

На основании интеграла энергии имеет место соотношение

Если траектория движения системы известна в парамерической форме

то соотношение (4) позволяет связать параметр со временем и тем самым получить закон движения.

Принцип Мопертюи — Лагранжа состоит в том, что для движения рассматриваемой системы при заданном значении постоянной энергии h имеет стационарное значение следующий функционал:

В отличие от интеграла (2), который является функционалом в обычной форме, здесь мы имеем функционал в параметрической форме (5). Этот функционал можно, конечно, переписать в виде интеграла

который часто называют действием по Лагранжу. Однако здесь нужно помнить, что из подинтегрального выражения время должно быть исключено с помощью интеграла энергии (3). Это обстоятельство, не подчёркиваемое надлежащим образом, и приводило ранее к различным заблуждениям.

Чтобы доказать справедливость сформулированного принципа, нужно составить уравнения Эйлера — Лагранжа для функционала (5) и показать, что они в силу интеграла энергии (3) или, что то же, соотношения (4) совпадают с уравнениями динамики, то-есть уравнениями Лагранжа второго рода.

Уравнения Эйлера — Лагранжа для функционала (5) имеют вид

Они не независимы, а одно из них является следствием остальных. Но если ввести с помощью соотношения (4) время t вместо параметра , то получатся уже независимые уравнения для определения координат как функций от времени.

Этими уравнениями будут

Они легко приводятся к форме

и, как видим, действительно являются уравнениями Лагранжа второго рода.

21 (14). Для каждой точки можно построить в плоскости кривую (черт. 12) с уравнением

где есть подинтегральная функция рассматриваемого функционала. Эта кривая носит название индикатрисы.

В случае регулярного функционала вогнутость индикатрисы направлена в сторону положительных и, какова бы ни была точка . Условие Вейерштрасса

где р = р(х, у) — наклон поля в рассматриваемой точке, означает, что индикатриса, построенная для любой точки (х, у) лежит сверху от касательной к ней в точке с абсциссой р(х, у).

Черт. 12.

Действительно, уравнение касательной к индикатрисе в её точке с абсциссой р(х, у) имеет вид

и чтобы точка лежала над этой касательной, необходимо и достаточно, чтобы имело место неравенство

Усиленное условие Лежандра

означает, что для каждой точки экстремали вогнутость индикатрисы, построенной для этой точки, направлена вверх в той точке индикатрисы, для которой .

Некоторая точка только тогда может быть угловой точкой экстремали, если индикатриса для этой точки обладает двойной касательной, то-есть если существует прямая, касающаяся индикатрисы в двух различных точках. При этом абсциссы этих точек касания дадут угловые коэффициенты экстремали в точке излома. 22 (4, 15). Найти минимум функционала

Решение. Экстремалями являются прямые. Пусть прямая, соединяющая точки (0, 0), , имеет угловой коэффициент . Поле имеется: его образуют прямые . Функция Вейерштрасса равна

Если , то получается сильный минимум, если же , то прямая не даёт сильного экстремума. Далее, так как

то при прямая даёт слабый минимум, а при — слабый максимум.

На черт. 13 представлены области для точки , которые отвечают различным возможностям: области соответствуют сильному минимуму, области II — слабому минимуму, а область III — слабому максимуму.

Обратимся теперь к ломаным экстремалям. Прежде всего заметим, что индикатриса не зависит от точки (х, у). Двойная касательная имеется. Она касается индикатрисы в точках с абсциссами (черт. 14). Поэтому условия Вейергатрасса—Эрдмана будут выполнены, если брать ломаные, звенья которых образуют угол ±60° с осью Ох.

Черт. 13.

Черт. 14.

Возьмём, например, , так что

На ломаной с одной угловой точкой (черт. 15) функционал имеет значение

То же значение будет иметь на ломаной с двумя угловыми точками (черт. 16), на ломаной с тремя угловыми точками (черт. 17) и т. д.

Черт. 15.

Черт. 16.

Черт. 17.

Каждая из этих ломаных даёт сильный минимум, в чём можно убедиться, рассматривая полное приращение. Например, полагая , находим:

Для простейшего функционала

всегда существуют допустимые функции (то-есть кусочно-гладкие функции, удовлетворяющие рассматриваемым краевым условиям), на которых он определён и имеет конечное значение. Иначе обстоит дело с функционалами

Здесь может не существовать ни одной допустимой функции и (х, у), доставляющей функционалу конечное значение. Первый пример этого рода принадлежит Адамару и относится к интегралу Дирихле

Уравнением Эйлера — Лагранжа для этого функционала является уравнение логарифмического потенциала и, следовательно, экстремалями для интеграла Дирихле являются гармонические функции.

Мы будем предполагать, что область D есть круг

и условимся этот круг обозначать , а интеграл Дирихле ПО этому кругу обозначим

Заметим, что в полярных координатах интеграл Дирихле имеет вид

Какова бы ни была непрерывная функция точки Р на окружности круга существует гармоническая в функция U (то-есть экстремаль), которая на окружности круга принимает значения . Для построения этой функции U лучше всего воспользоваться полярными координатами; тогда, если

то

Мы покажем теперь, что интеграл Дирихле на функции не всегда конечен. После этого мы покажем, что если интеграл Дирихле имеет бесконечное значение на этой функции , то он не будет конечным ни на одной допустимой функции.

Для доказательства первого утверждения возьмём, следуя Адамару, функцию

Соответствующая гармоническая функция равна

При любом положительном R < 1 будем иметь

Отсюда вытекает, что

Для доказательства второго утверждения примем, что на некоторой кусочно-гладкой функции интеграл Дирихле имеет конечное значение. Возьмём гармоническою функцию [она определяется формулой (1)], принимающую на окружности круга К те же значения , и заметим, что

Далее положим

и

Понимая под величину

очевидно, можем написать равенства

Теперь заметим, что при любом положительном

Последний член правой части стремится к нулю при Действительно,

так как гармоническая функция и, следовательно,

Поэтому

откуда

и в силу (2) последний интеграл равен нулю. Таким образом,

и, значит,

В силу этого неравенства и подавно

каково бы ни было положительное R < 1. Переходя к пределу , находим отсюда, что

Второй предельный переход даёт

Это неравенство показывает, что . Таким образом, если , то , какова бы ни была допустимая функция V. Тем самым второе утверждение также доказано.

24 (3, 5, 22 — 24). Обобщённая лемма вариационного исчисления. В п° 23 при выводе уравнения Эйлера — Лагранжа получено и использовано следующее предложение: если есть кусочно-непрерывная функция и если для любой функции имеющей кусочно-непрерывную производную n-го порядка и равной нулю вместе с производными до порядка включительно на концах интервала , имеет место равенство

то есть многочлен степени :

где — константы.

Это предложение является частным случаем следующего более общего предложения:

Обобщённая лемма вариационного исчисления. Если

при единственном условии, что

где — заданные функции, то почти всюду

Доказательство. Равенство (1) выражает, что функция ортогональна функции , а равенства (2), что функция ортогональна функциям . Мы можем принять, что функции линейно независимы. В таком случае можно однозначно определить константы так, чтобы разность

была ортогональна ко всем функциям . Действительно, для этого нужно решить относительно систему

определителем которой является отличный от нуля определитель Грама функций . Итак, функция удовлетворяет условиям (2), и поэтому её можно взять в (1) в качестве . Тогда мы получим:

Из этсго равенства и следует, что почти всюду

1
Оглавление
email@scask.ru