33 (31). Проблема Штурма—Лиувилля.

Под проблемой Штурма — Лиувилля для конечного интервала понимают ряд вопросов, связанных с уравнением

при краевых условиях

где — заданные непрерывные в функции [ вещественна], — параметр, а — заданные вещественные числа, которые мы будем считать неотрицательными.

Основной вопрос касается существования таких значений (их называют собственными значениями), для которых система (1), (2) имеет нетривиальные решения (собственные функции). Этот вопрос может быть решён с помощью прямых методов вариационного исчисления, что мы и покажем в настоящем параграфе, разбив его для удобства на несколько частей.

А. Для иллюстрации на одном примере различных краевых условий примем, что , так что условия (2) имеют вид

Введём квадратичный функционал

а также билинейный функционал

и прежде всего отметим легко проверяемую с помощью интегрирования по частям формулу

которая справедлива, если

а) функции u, v удовлетворяют условиям.

б) функция v абсолютно непрерывна,

в) к функции и применим оператор L.

В частности, если — собственная функция, а — собственное значение, то применение формулы (5) при даёт

Будем называть две, вообще говоря, комплексно-значные функции ортогональными [при весе ], если

и будем называть функцию нормированной, если

Б. Простейшие предложения относительно собственных функций гласят:

а) Собственные функции принадлежащие двум различным собственным значениям ортогональны.

б) Каждому собственному значению принадлежит с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция.

Для доказательства первого предложения возьмём тождества

Из этих тождеств на основании формулы (5), которая здесь, очевидно, применима, следует

и, значит,

откуда

так как .

Второе предложение докажем от противного. Пусть собственному значению отвечают две линейно независимые собственные функции . В таком случае можно найти две константы , не равные нулю одновременно, для которых линейная комбинация

не равная нулю тождественно и также являющаяся собственной функцией, обращается в нуль при . Но тогда , и если бы функция имела непрерывную производную, то противоречие уже было бы достигнуто благодаря теореме единственности теории дифференциальных уравнений. Так как дифференцируемость функции , однако, не предполагается, то сделаем замену

на основании которой

и равенство

принимает вид

К уравнению этого вида уже применима теорема единственности.

Из предложения а) вытекает, что не существует невещественных собственных значений. Действительно, если — невещественное собственное значение, а — соответствующая собственная функция, то является собственным значением, а — соответствующей собственной функцией. При этом в силу неравенства применимо предложение а), то-есть

что абсурдно.

На основании этого замечания мы можем в рассмотрениях настоящего параграфа считать все функции и числа вещественными, как это и положено в вариационном исчислении.

В. Поставим теперь следующую вариационную задачу: найти абсолютный минимум функционала

при краевом условии

и связи

Взяв какую-нибудь (например, линейную) функцию , удовлетворяющую условиям (6) и (7), и найдя , мы можем ограничиться - рассмотрением лишь тех допустимых функций , для которых

Но в таком случае

откуда

С другой стороны, из (7) следует, что

Если максимум в интервале функции достигается в точке , а минимум — в точке , то

и, значит,

откуда следует, что

где зависит лишь от . Как видим, можно ограничиться рассмотрением кривых , лежащих в прямоугольнике

который играет здесь роль области G. В атом прямоугольнике функция

удовлетворяет неравенству

Монотонность функции и даже более сильное неравенство

также имеют место. Поэтому функционал при условиях (6) и (7) имеет абсолютный минимум. Обозначим минимизирующую функцию через , а величину минимума через . Таким образом, для любой удовлетворяющей условиям (6) и (7) абсолютно непрерывной функции у(х)

Отсюда, между прочим, вытекает, что функция доставляет абсолютный минимум (равный нулю) функционалу

при единственном условии (6).

Действительно, допустим, что существует удовлетворяющая условию (6) абсолютно непрерывная функция , для которой

В силу этого неравенства не равна нулю тождественно, так что . Поэтому можно ввести функцию

которая удовлетворяет обоим условиям (6), (7) и для которой

Полученное неравенство противоречит (8), а потому абсурдно.

Так как доставляет функционалу абсолютный минимум, то на основании общих результатов п° 31 является гладкой функцией, а в таком случае на основании п° 32 Дополнений удовлетворяет уравнению

а также краевому условию

Следовательно, минимальное значение функционала при условиях (6), (7) является собственным значением проблемы (1), (3), а минимизирующая функция собственной функцией.

Так как для любого отличного от собственного значения , если оно существует, и отвечающей ему собственной функции снова в силу (5) справедливо соотношение

а на основании (8)

и так как , то

и, значит, найденное собственное зпачение является наименьшим. Его называют первым собственным значением, что и отражает принятое обозначение.

Г. Докажем одно важное свойство первой собственной функции состоящее в том, что она не обращается в нуль во всём открытом справа интервале .

Действительно, допуская противное, обозначим через с точку указанного полуинтервала, в которой обращается в нуль, и положим

Функция удовлетворяет условию (6) и является допустимой функцией для функционала . Вместе с тем величина

в силу тождества

равняется

поэтому функция [так же, как и функция ] доставляет функционалу минимум. Значит, в точке излома х = с должно быть выполнено соотношение Вейерштрасса — Эрдмана. Это соотношение здесь имеет вид или и, как выше доказано, несовместимо с равенством так как .

Д. Займёмся теперь нахождением второго собственного значения. Для этого будем искать абсолютный минимум функционала при условии (6) и двух связях

где — первая собственная функция.

Так же как и в разделе В, устанавливается, что этот минимум сувтествует. Обозначим минимизирующую функцию через , а величину минимума — через . Далее, так же как и в разделе В, устанавливаем, что функция доставляет абсолютный и притом строгий минимум функционалу

при условии (6) и связи

Отсюда на основании п° 32 Дополнений следует, что удовлетворяет краевому условию

и дифференциальному уравнению

Так как в силу (5)

то, заменяя в (9) у на , умножая на и интегрируя, найдём:

откуда . Следовательно, уравнение (9) принимает вид

и, значит, есть второе собственное значение, а — вторая собственная функция.

Чтобы получить третью собственную функцию, нужно искать абсолютный минимум функционала при условии (6) и трёх связях:

Продолжая этот процесс, получим бесконечную последовательность собственных значений

и отвечающих им попарно ортогональных и нормированных собственных функций