Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
33 (31). Проблема Штурма—Лиувилля.Под проблемой Штурма — Лиувилля для конечного интервала
при краевых условиях
где Основной вопрос касается существования таких значений А. Для иллюстрации на одном примере различных краевых условий примем, что
Введём квадратичный функционал
а также билинейный функционал
и прежде всего отметим легко проверяемую с помощью интегрирования по частям формулу
которая справедлива, если а) функции u, v удовлетворяют условиям.
б) функция v абсолютно непрерывна, в) к функции и применим оператор L. В частности, если
Будем называть две, вообще говоря, комплексно-значные функции
и будем называть функцию
Б. Простейшие предложения относительно собственных функций гласят: а) Собственные функции б) Каждому собственному значению принадлежит с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция. Для доказательства первого предложения возьмём тождества
Из этих тождеств на основании формулы (5), которая здесь, очевидно, применима, следует
и, значит,
откуда
так как Второе предложение докажем от противного. Пусть собственному значению
не равная нулю тождественно и также являющаяся собственной функцией, обращается в нуль при
на основании которой
и равенство
принимает вид
К уравнению этого вида уже применима теорема единственности. Из предложения а) вытекает, что не существует невещественных собственных значений. Действительно, если
что абсурдно. На основании этого замечания мы можем в рассмотрениях настоящего параграфа считать все функции и числа вещественными, как это и положено в вариационном исчислении. В. Поставим теперь следующую вариационную задачу: найти абсолютный минимум функционала
при краевом условии
и связи
Взяв какую-нибудь (например, линейную) функцию
Но в таком случае
откуда
С другой стороны, из (7) следует, что
Если максимум в интервале
и, значит,
откуда следует, что
где
который играет здесь роль области G. В атом прямоугольнике функция
удовлетворяет неравенству
Монотонность функции
также имеют место. Поэтому функционал
Отсюда, между прочим, вытекает, что функция
при единственном условии (6). Действительно, допустим, что существует удовлетворяющая условию (6) абсолютно непрерывная функция
В силу этого неравенства
которая удовлетворяет обоим условиям (6), (7) и для которой
Полученное неравенство противоречит (8), а потому абсурдно. Так как
а также краевому условию
Следовательно, минимальное значение функционала Так как для любого отличного от
а на основании (8)
и так как
и, значит, найденное собственное зпачение Г. Докажем одно важное свойство первой собственной функции Действительно, допуская противное, обозначим через с точку указанного полуинтервала, в которой
Функция
в силу тождества
равняется
поэтому функция Д. Займёмся теперь нахождением второго собственного значения. Для этого будем искать абсолютный минимум функционала
где Так же как и в разделе В, устанавливается, что этот минимум сувтествует. Обозначим минимизирующую функцию через
при условии (6) и связи
Отсюда на основании п° 32 Дополнений следует, что
Так как в силу (5)
то, заменяя в (9) у на
откуда
и, значит, Чтобы получить третью собственную функцию, нужно искать абсолютный минимум функционала
Продолжая этот процесс, получим бесконечную последовательность собственных значений
и отвечающих им попарно ортогональных и нормированных собственных функций
|
1 |
Оглавление
|