ГЛАВА I. УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1. Основная задача вариационного исчисления

формулируется следующим образом:

В некоторой области G пространства вещественных переменных для любых конечных вещественных значений задана непрерывная по совокупности всех своих аргументов вещественная функция

где Y и Z означают векторы

Рассматривается совокупность всех кусочно-гладких пространственных кривых лежащих в области G и соединяющих две заданные точки . На каждой такой кривой (мы будем называть их допустимыми) интеграл

имеет вполне определённое значение.

Ищется та кривая или те кривые, на которых этот интеграл имеет экстремальное, то-есть максимальное или минимальное значение.

Множество всех кусочно-гладких вектор-функций в заданном интервале является одним из так называемых функциональных пространств, каждая кусочно-гладкая вектор-функция является элементом или точкой этого пространства, а совокупность — некоторым многообразием в нём. Поэтому выражение (1) относит определённое число каждому элементу некоторого многообразия в функциональном пространстве , следовательно, выражение (1) по терминологии функционального анализа является на этом многообразии функционалом от Y:

Таким образом, в отличие от дифференциального исчисления, где изучаются методы решения задач на максимум и минимум обычных функций, то-есть функций точки в конечно-мерном пространстве, вариационное исчисление занимается задачами на максимум и минимум функционалов), то-есть некоторых функций точки в определённых функциональных пространствах.

Одной из первых задач вариационного исчисления была задача о брахистохроне, предложенная И. Бернулли в 1696 году. Эта задача состоит в следующем: в вертикальной плоскости даны две точки не лежащие на одной вертикальной прямой; требуется соединить их такой кривой, чтобы материальная точка, падая вдоль этой кривой без начальной скорости и при отсутствии сопротивления, пробегала кривую в кратчайшее время. Если оси координат выбраны так, как указано на черт. 1, то закон живых сил даёт

Но

Поэтому

Отсюда для времени падения вдоль кривой получаем величину

Этот функционал и подлежит минимизации в задаче И. Бернулли. Здесь областью G является полуплоскость а одни из концов рассматриваемых кривых лежит на границе области G.

Черт. 1.

Возвращаясь к общей задаче, то-есть к функционалу (2), заметим, что для построения теории приходится, кроме естественного требования непрерывности, накладывать на функцию некоторые дополнительные, не вызываемые сущностью вопроса требования. Мы будем в дальнейшем требовать существование и непрерывность всех её частных производных до третьего порядка включительно, хотя для многих рассмотрений это требование является чрезмерным