19. Теория Гамильтона—Якоби.

Вернёмся к функционалу

при произвольном п. Пусть дано некоторое поле этого функционала, пусть — наклон этого поля и D — покрытая полом область. Предположим, что во всех точках области D

иначе говоря, что при элемент

всегда неособенный относительно нашего функционала. Введём интеграл Гильберта

Этот интеграл в области D не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от его начальной и конечной точки. Он представляет поэтому функцию от координат которая, очевидно, дважды непрерывно дифференцируема. При этом

Из условия (1) следует, что в достаточно малой окрестности любой точки области D систему (3) можно решить относительно величин . Подставляя найденные значения этих величин в уравнение (2), то-есть исключая мы получим некоторое уравнение в частных производных для W. Чтобы написать это уравнение, нужно лишь припомнить, как в п° 7 вводились канонические переменные и как преобразовывались к каноническому виду уравнения Эйлера—Лагранжа. Это делалось с помощью формул

правые части которых тождественны с правыми частями наших формул (2), (3), если исключаемый вектор заменить на Z. Так как роль величин играют производные , то искомое уравнение в частных производных имеет вид

Это уравнение носит название уравнения Гамильтона—Якоби.

Каждому полю отвечает своя функция W, но всевозможные функции W удовлетворяют, таким образом, одному и тому же уравнению в частных производных первого порядка.

Будем теперь исходить из этого уравнения. Примем, что имеется какой-нибудь его интеграл, и выясним, что с помощью этого интеграла можно получить для нашей вариационной задачи.

Теорема 1. Пусть в некоторой области D известно какое-то дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения Гамильтона—Якоби и пусть при любых элемент

лежит в области пространства , которая формулами

взаимно однозначно отображается на некоторую область пространства состоящую исключительно из неособенных элементов. В таком случае в области D существует поле, и если отвлечься от аддитивной постоянной, то представляет для этого поля значение интеграла Гильберта с переменным верхним пределом. Доказательство. Возьмём функции

которые в силу наших предположений непрерывно дифференцируемы, и покажем, что они являются компонентами наклона некоторого поля. Для этого нужно проверить, что составленный с их помощью интеграл Гильберта не зависит от пути. Чтобы построить интеграл Гильберта, нужно прежде всего найти функции

С этой целью заметим, что обращением формул

являются формулы

Но эти последние превращаются в имеющиеся у нас соотношения (4), если положить

Поэтому обращение соотношений (4), которое в силу условия теоремы может быть совершено, приводит к равенствам

Далее необходимо найти функцию

В силу уравнения Гамильтона—Якоби эта функция равна

На основании сказанного интеграл Гильберта принимает вид

и теорема доказана.

Теорема 2. Пусть функция

зависящая от произвольного постоянного вектора

удовлетворяет в некоторой окрестности точки

уравнению Гамильтона—Якоби

для всех значений постоянного вектора В из некоторой окрестности вектора

Если функция W непрерывно дифференцируема по параметрам и если каждая из частных производных непрерывно дифференцируема по всем аргументам, причём

то равенства

и

где — вторая произвольная векторная постоянная, представляют в некоторой окрестности точки общий интеграл канонической системы

Замечание. Эта каноническая система вполне определяется заданием уравнения 1 амильтона—Якоби и рассматривается здесь независимо от какой-либо вариационной задачи. С самого начала должно быть лишь предположено, что функция Н имеет непрерывные производные по переменным .

Но если мы, кроме того, примем, что функция Н принадлежит какому-нибудь неособенному функционалу, то с помощью теоремы 2 получается также общий интеграл системы уравнений Эйлера—Лагранжа для этого функционала.

Доказательство. Подставляя в левые части уравнений (), соответственно (), вместо величины получим два вектора:

В силу условия (6) и теоремы о неявных функциях уравнения определяют в некоторой окрестности точки непрерывно дифференцируемые функции

Подставляя эти функции в левые части равенств , получим также непрерывно дифференцируемые функции

Мы докажем, что в некоторой окрестности точки функции и удовлетворяют уравнениям (8) для любых дозволенных, то-есть достаточно близких к значений постоянных векторов А, В.

После этого останется доказать, что постоянные векторы А, В всегда можно подобрать так, чтобы кривая прошла через произвольно взятую достаточно близкую к точку. Но это вытекает снова из теоремы о неявных функциях, примененной уже к системе уравнений и гарантирующей в силу условия (6) разрешимость этой системы относительно величин

Чтобы доказать, что функции удовлетворяют уравнениям (8), подставим в уравнения вместо выражения и продифференцируем полученные тождества по Это даст тождества

С другой стороны, подставляя в уравнении (5) вместо W его выражение и дифференцируя по , находим:

Подставляя в это тождество вместо их выражения и сравнивая результат с (10), придём к соотношениям

Так как в силу (6) определитель из коэффициентов при величинах

отличен от нуля, то равны нулю все эти величины. Иначе говоря, первая половина канонических уравнений удовлетворена.

Теперь возьмём равенства , определяющие величины , и подставим в левые части вместо их выражения Дифференцирование этих равенств по даёт

Теперь остаётся продифференцировать соотношение (5) по . Мы получим равенства

с помощью которых и (10) находим, что

Тем самым доказательство теоремы 2 закончено. В заключение настоящею параграфа остановимся на некоторых геометрических понятиях, связанных с полем.

Наиболее прозрачными по своей постановке и вместе с тем типичными задачами вариационного исчисления являются задачи о нахождении геодезических линий. Это обстоятельство даёт повод воспользоваться геометрической интерпретацией или, по крайней мере, геометрическим языком применительно к любым задачам вариационного исчисления. С этой целью приходится рассматривать своеобразную «метрику», в которой «длиной» кривой является значение функционала

«геодезическими» являются экстремали этого функционала, а «расстоянием» между двумя точками — «длина» соединяющей эти точки экстремали.

Установив эти понятия, возьмём какое-нибудь майерово семейство экстремалей нашего функционала, например совокупность всех экстремалей, выходящих из некоторой фиксированной точки. Взятое семейство порождает поле и некоторую функцию - интеграл Гильберта.

Рассмотрим семейство гиперповерхностей

которые при являются просто поверхностями, а при кривыми. Возьмём две гиперповерхности из указанного семейства, для которых соответственно . Покажем, что отрезок любой «геодезической», заключённый между этими гиперповерхностями, имеет «длину» . Действительно, рассматриваемая «длина» равна интегралу

взятому вдоль указанной дуги экстремали, концами которой мы считаем точки . Но вдоль экстремали (траектории) поля основной функционал равен интегралу Гильберта. Поэтому интересующая нас «длина» равна

Таким образом, наше утверждение доказано.

Мы видим, что гиперповерхности (11) играют роль «эквидистант». Поэтому естественно выяснить, нет ли в точке пересечения экстремали поля с гиперповерхностью (11) определённой зависимости между направлением экстремали и направлением любой проходящей через эту точку и лежащей на гиперповерхности кривой. Такая зависимость должна в рассматриваемой картине играть роль ортогональности.

Пусть элемент кривой на гиперповерхности имеет компоненты

Что же касается экстремали, то её наклон в рассматриваемой точке (х, Y) определяется формулами

Так как на гиперповерхности (И) функция W(х, Y) сохраняет постоянное значение, то в рассматриваемой точке

или

Мы действительно получили вполне определённее соотношение между направлением элемента кривой на гиперповерхности и наклоном экстремали поля. Это соотношение оказывается линейным относительно компонент элемента кривой на гиперповерхности. Относительно же компонент наклона экстремали оно, вообще говоря, нелинейно.

В случае, когда

как читатель легко может проверить, соотношение (12) принимает вид

то-есть превращается в соотношение ортогональности.

В общем случае соотношение (12) носит название соотношения трансверсальности, а гиперповерхности (11) называют трансверсалями рассматриваемого поля экстремалей.

Читателю, который заинтересуется развитием затронутых здесь геометрических рассмотрений, можно порекомендовать богатую идеями книгу: М. А. Лаврентьев и Л. A. Люстерн и к, Основы вариационного исчисления, том I, часть II, Гостехиздат, М. — Л., 1935.