33. Задача об абсолютном минимуме функционала в параметрической форме.

Переходим к рассмотрению функционала в парамотрической форме:

Непрерывная функция F предполагается здесь дважды непрерывно дифференцируемой и по второй паре аргументов позитивно однородной первой степени. Вытекающие из однородности следствия разобраны в п° 10. Кривые С, на которых мы будем рассматривать функционал , предполагаются только спрямляемыми. Уже при одном этом предположении интеграл существует как интеграл Лебега. В самом деле, если

есть спрямляемая кривая, то в качестве параметра мы можем принять длину дуги s. Уравнение кривой будет

При этом

и, значит, почти всюду существуют и численно не превосходят единицы. Поэтому интеграл

существует в смысле Лебега.

Нашей задачей является доказательство следующего предложения:

Теорема. Если функционал (1) квазирегулярен в ограниченной замкнутой области G, то-есть для любой точки и любого

и если

также для любой точки и любого , то во всякой совокупности спрямляемых кривых, лежащих в G, существует по крайней мере одна кривая, которая функционалу (1) доставляет абсолютный минимум.

Доказательство этой теоремы распадается на несколько частей. В настоящем параграфе мы изложим ход доказательства и сформулируем необходимые предварительные предложения. В следующих параграфах эти предложения будут доказаны, а вместе с тем будет полностью доказана и сама теорема.

На всякой допустимой кривой С, длину которой обозначим через l, справедливо неравенство

Поэтому множество значений функционала ограничено, снизу. Отсюда вытекает существование минимизирующей последовательности и мы можем принять, что при стремится, монотонно убывая, к

В силу неравенства (4) длина кривой удовлетворяет неравенству

и, значит,

Так как ищется минимум, то с самого начала можно ограничиться кривыми, длины которых не превосходят .

Теперь в соответствии со схемой, изложенной в , надлежит установить, что последовательность имеет предельную кривую. Это достигается с помощью следующего предложения:

Теорема Гильберта. Бесконечная совокупность лежащих в ограниченной замкнутой области спрямляемых кривых, длины которых ограничены, имеет, по крайней мере, одну предельную кривую, которая спрямляема и, что очевидно, также лежит в указанной области.

Таким образом, устанавливается, что минимизирующая последовательность имеет предельную кривую С. Заметим, что при доказательстве этого факта используется лишь условие (3).

Чтобы доказать, что кривая С доставляет функционалу абсолютный минимум, приходится использовать условие (2), выражающее, что функционал квазирегулярен. Это делается с помощью следующего предложения:

Теорема Тонелли. Ввякий квазирегулярный функционал полунепрерывен снизу в совокупности кривых, длины которых ограничены.