34. Доказательство теоремы Гильберта.

Пусть дана бесконечная совокупность кривых С, лежащих в ограниченной замкнутой области, и пусть длины этих кривых ограничены некоторым числом . На любой кривой возьмём в качестве параметра величину

где l — длина всей кривой С, a s — длина её дуги, отсчитываемая от начальной точки кривой.

Уравнения кривой С будут

Совокупности принадлежат, таким образом, два семейства равномерно ограниченных функций. Далее,

поэтому все функции равностепенно непрерывны. Следовательно, применима теорема Арцела, в силу которой найдётся пара предельных функций

При этом будут иметь место неравенства

из которых следует, что производные почти всюду существуют и по абсолютной величине не превосходят . Значит, предельная кривая

спрямляема, и теорема доказана.