34. Доказательство теоремы Гильберта.
Пусть дана бесконечная совокупность 
кривых С, лежащих в ограниченной замкнутой области, и пусть длины этих кривых ограничены некоторым числом 
. На любой кривой возьмём в качестве параметра величину
где l — длина всей кривой С, a s — длина её дуги, отсчитываемая от начальной точки кривой.
Уравнения кривой С будут
Совокупности 
принадлежат, таким образом, два семейства 
равномерно ограниченных функций. Далее,
поэтому все функции 
равностепенно непрерывны. Следовательно, применима теорема Арцела, в силу которой найдётся пара предельных функций
При этом будут иметь место неравенства
из которых следует, что производные 
почти всюду существуют и по абсолютной величине не превосходят 
. Значит, предельная кривая
спрямляема, и теорема доказана.
