36. Максимально-минимальное свойство собственных значений.

В построенной выше теории (см. п° 33 Дополнений) n-е собственное значение и соответствующая собственная функция определялись с помощью вариационной проблемы, в формулировке которой фигурировали предыдущие собственные функции. Однако n-е собственное значение может быть определено независимым экстремальным свойством. Впервые такое свойство собственных значений было указано Фишером для квадратичных форм от конечного числа переменных. Перенесение его на вариационные проблемы, а также построение - и далеко идущее развитие основанной на нём теории есть заслуга Р. Куранта.

Приведём относящуюся сюда теорему применительно к проблеме, которая была рассмотрена в п° 33 Дополнений.

Теорема. Пусть означает точную нижнюю грань функционала в классе всех кусочно-гладких функций , удовлетворяющих краевому условию

и связям

где — какая-нибудь система кусочно-непрерывных функций в интервале . В таком случае n-е собственное значение равно максимуму величины , в классе всевозможных систем функций

Доказательство. Неравенство

вытекает уже из того, что

Поэтому остаётся доказать, что

каковы бы ни были функции . Предполагая, что эти функции как-то выбраны, возьмём линейную комбинацию из n первых собственных функций , которые мы предполагаем нормированными:

Условие (1) выполняется при любых . Чтобы выполнялись условия (2), нужно определить из уравнений

которым всегда можно удовлетворить, найдя сначала нетривиальное решение системы однородных уравнений (4), а затем распорядившись произвольным множителем в его составе для удовлетворения уравнению (3).

Теперь с помощью приёма, применявшегося в п°п° 32 и 35 Дополнений, получаем:

откуда и следует, что

так как

37 (25, 26). Несколько замечаний относительно задач на условный экстремум.

А. Эйлер впервые обратил внимание на некоторый закон взаимности для изопериметрических задач. В простейшем случае этот закон состоит в следующем: совокупность кривых, доставляющих стационарное значение функционалу

при условии, что функционал

должен иметь заданное значение, совпадает с совокупностью кривых, доставляющих стационарное значение функционалу при условии, что должен иметь фиксированное значение функционал .

Б. Изопериметрическая задача сводится к задаче Лагранжа. Действительно, пусть, например, идёт речь об экстремуме функционала при связи

и условиях

Положим

откуда

Теперь наша задача состоит в следующем: найти экстремум функционала при связи

и условиях

Это — задача Лагранжа.

В. К задаче Лагранжа примыкает так называемая задача Майера, которая состоит в следующем: рассматриваются всевозможные системы гладких функций

удовлетворяющих дифференциальным уравнениям

и краевым условиям

Требуется найти ту систему, в которой функция имеет при максимум или минимум.

Эта задача эквивалентна задаче об экстремуме функционала

при связях (1) и краевых условиях (2), то-есть является частным случаем задачи Лагранжа.

Вместе с тем к задаче Майера сводится всякая задача Лагранжа для функционала

в чём мы немедленно убеждаемся, вводя ещё одну неизвестную функцию