31 (22). Теорема Хаара о регулярных функционалах.

Если функционал

подинтегральная функция которого не содержит и, регулярен, то-есть

если, далее,

и если в области (односвязной) D существуют две гладкие функции для которых всюду в D

то для всякой отличной от гладкой функции совпадающей с на границе области D, имеет место неравенство

то-есть при заданных значениях на границе области D функция доставляет функционалу (1) абсолютный (в притом строгий) минимум.

Доказательство. Пусть — какая-нибудь гладкая функция в области D, отличная от , но совпадающая с ней на границе D. Положим

так что есть гладкая функция, равная нулю на границе D.

Далее, обозначая через произвольное число из интервала [0, 1], введём допустимую гладкую функцию

и положим

Прежде всего убедимся в том, что

Действительно,

а из условия (4) и односвязности области D следует, что при любом лежащем внутри D контуре

Поэтому применима лемма Хаара (см. п° 29 Дополнений), в силу которой правая часть (6) равна нулю. Теперь докажем, что

С этой целью возьмём представление

Из условий (2) и (3) непосредственно следует, что правая часть всегда больше нуля за исключением случая, когда

всюду в D. Но этот последний случай невозможен, так как по условию

внутри D и

на границе D.

Из неравенства (7) следует, что кривая

строго выпукла и, значит, лежит выше любой своей касательной. Беря касательную в точке , поэтому будем иметь

откуда на основании (5)

что и требовалось доказать.

32 (25, 31). Частный случай изопериметрической задачи с естественным условием на одном конце. Найти экстремум функционала

при краевом условии

и связях

где — заданные непрерывные линейно независимые функции.

Пусть — гладкая кривая, доставляющая этот экстремум и лежащая, за возможным исключением концов, внутри заданной области G плоскости х, у. При этом предполагается, что f(x, у, z) и частные производные являются непрерывными функциями по совокупности своих аргументов [для и любого конечного ].

Мы будем также предполагать, что функция непрерывно дифференцируема на пересечении области G с прямой . Докажем, что функция удовлетворяет уравнению

где — некоторые константы, и краевому условию на левом конце

Новым здесь является лишь краевое условие (4), уравнение же (3) может быть получено на основании общего результата п° 25. Однако мы приведём также и вывод уравнения (3) с помощью простого приёма, который от рассмотрений п° 25 не зависит.

С этой целью возьмём произвольную гладкую функцию удовлетворяющую краевому условию

и связям

и положим

Приравнивая нулю первую вариацию функционала

получим равенство

откуда

Наложим вначале ещё условие и, полагая , перепишем (7) в виде

Так как в силу (5)

и, кроме того,

то на основании леммы п° 24 Дополнений

Это равенство, очевидно, можно продифференцировать, и мы получим:

чем доказано, что удовлетворяет уравнению (3). Отбрасывая теперь предположение и подставляя в подинтегральную функцию формулы (6) вместо величины её выражение, получаемое из равенства (8), а также учитывая соотношения (5), находим, что для выполняется и краевое условие (4).