Главная > Лекции по вариационному исчислению
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

31 (22). Теорема Хаара о регулярных функционалах.

Если функционал

подинтегральная функция которого не содержит и, регулярен, то-есть

если, далее,

и если в области (односвязной) D существуют две гладкие функции для которых всюду в D

то для всякой отличной от гладкой функции совпадающей с на границе области D, имеет место неравенство

то-есть при заданных значениях на границе области D функция доставляет функционалу (1) абсолютный (в притом строгий) минимум.

Доказательство. Пусть — какая-нибудь гладкая функция в области D, отличная от , но совпадающая с ней на границе D. Положим

так что есть гладкая функция, равная нулю на границе D.

Далее, обозначая через произвольное число из интервала [0, 1], введём допустимую гладкую функцию

и положим

Прежде всего убедимся в том, что

Действительно,

а из условия (4) и односвязности области D следует, что при любом лежащем внутри D контуре

Поэтому применима лемма Хаара (см. п° 29 Дополнений), в силу которой правая часть (6) равна нулю. Теперь докажем, что

С этой целью возьмём представление

Из условий (2) и (3) непосредственно следует, что правая часть всегда больше нуля за исключением случая, когда

всюду в D. Но этот последний случай невозможен, так как по условию

внутри D и

на границе D.

Из неравенства (7) следует, что кривая

строго выпукла и, значит, лежит выше любой своей касательной. Беря касательную в точке , поэтому будем иметь

откуда на основании (5)

что и требовалось доказать.

32 (25, 31). Частный случай изопериметрической задачи с естественным условием на одном конце. Найти экстремум функционала

при краевом условии

и связях

где — заданные непрерывные линейно независимые функции.

Пусть гладкая кривая, доставляющая этот экстремум и лежащая, за возможным исключением концов, внутри заданной области G плоскости х, у. При этом предполагается, что f(x, у, z) и частные производные являются непрерывными функциями по совокупности своих аргументов [для и любого конечного ].

Мы будем также предполагать, что функция непрерывно дифференцируема на пересечении области G с прямой . Докажем, что функция удовлетворяет уравнению

где — некоторые константы, и краевому условию на левом конце

Новым здесь является лишь краевое условие (4), уравнение же (3) может быть получено на основании общего результата п° 25. Однако мы приведём также и вывод уравнения (3) с помощью простого приёма, который от рассмотрений п° 25 не зависит.

С этой целью возьмём произвольную гладкую функцию удовлетворяющую краевому условию

и связям

и положим

Приравнивая нулю первую вариацию функционала

получим равенство

откуда

Наложим вначале ещё условие и, полагая , перепишем (7) в виде

Так как в силу (5)

и, кроме того,

то на основании леммы п° 24 Дополнений

Это равенство, очевидно, можно продифференцировать, и мы получим:

чем доказано, что удовлетворяет уравнению (3). Отбрасывая теперь предположение и подставляя в подинтегральную функцию формулы (6) вместо величины её выражение, получаемое из равенства (8), а также учитывая соотношения (5), находим, что для выполняется и краевое условие (4).

1
Оглавление
email@scask.ru