Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
31 (22). Теорема Хаара о регулярных функционалах.Если функционал
подинтегральная функция которого не содержит и, регулярен, то-есть
если, далее,
и если в области (односвязной) D существуют две гладкие функции
то для всякой отличной от
то-есть при заданных значениях на границе области D функция Доказательство. Пусть
так что Далее, обозначая через
и положим
Прежде всего убедимся в том, что
Действительно,
а из условия (4) и односвязности области D следует, что при любом лежащем внутри D контуре
Поэтому применима лемма Хаара (см. п° 29 Дополнений), в силу которой правая часть (6) равна нулю. Теперь докажем, что
С этой целью возьмём представление
Из условий (2) и (3) непосредственно следует, что правая часть всегда больше нуля за исключением случая, когда
всюду в D. Но этот последний случай невозможен, так как по условию
внутри D и
на границе D. Из неравенства (7) следует, что кривая
строго выпукла и, значит, лежит выше любой своей касательной. Беря касательную в точке
откуда на основании (5)
что и требовалось доказать. 32 (25, 31). Частный случай изопериметрической задачи с естественным условием на одном конце. Найти экстремум функционала
при краевом условии
и связях
где Пусть Мы будем также предполагать, что функция
где
Новым здесь является лишь краевое условие (4), уравнение же (3) может быть получено на основании общего результата п° 25. Однако мы приведём также и вывод уравнения (3) с помощью простого приёма, который от рассмотрений п° 25 не зависит. С этой целью возьмём произвольную гладкую функцию
и связям
и положим
Приравнивая нулю первую вариацию функционала
получим равенство
откуда
Наложим вначале ещё условие
Так как в силу (5)
и, кроме того,
то на основании леммы п° 24 Дополнений
Это равенство, очевидно, можно продифференцировать, и мы получим:
чем доказано, что
|
1 |
Оглавление
|