Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
31 (22). Теорема Хаара о регулярных функционалах.Если функционал
подинтегральная функция которого не содержит и, регулярен, то-есть
если, далее,
и если в области (односвязной) D существуют две гладкие функции
то для всякой отличной от
то-есть при заданных значениях на границе области D функция Доказательство. Пусть
так что Далее, обозначая через
и положим
Прежде всего убедимся в том, что
Действительно,
а из условия (4) и односвязности области D следует, что при любом лежащем внутри D контуре
Поэтому применима лемма Хаара (см. п° 29 Дополнений), в силу которой правая часть (6) равна нулю. Теперь докажем, что
С этой целью возьмём представление
Из условий (2) и (3) непосредственно следует, что правая часть всегда больше нуля за исключением случая, когда
всюду в D. Но этот последний случай невозможен, так как по условию
внутри D и
на границе D. Из неравенства (7) следует, что кривая
строго выпукла и, значит, лежит выше любой своей касательной. Беря касательную в точке
откуда на основании (5)
что и требовалось доказать. 32 (25, 31). Частный случай изопериметрической задачи с естественным условием на одном конце. Найти экстремум функционала
при краевом условии
и связях
где Пусть Мы будем также предполагать, что функция
где
Новым здесь является лишь краевое условие (4), уравнение же (3) может быть получено на основании общего результата п° 25. Однако мы приведём также и вывод уравнения (3) с помощью простого приёма, который от рассмотрений п° 25 не зависит. С этой целью возьмём произвольную гладкую функцию
и связям
и положим
Приравнивая нулю первую вариацию функционала
получим равенство
откуда
Наложим вначале ещё условие
Так как в силу (5)
и, кроме того,
то на основании леммы п° 24 Дополнений
Это равенство, очевидно, можно продифференцировать, и мы получим:
чем доказано, что
|
1 |
Оглавление
|