15 (10, 15, 18). Задача о наименьшей поверхности вращения.

Пусть даны сверху от оси Ох две точки . Требуется соединить их такой кривой линией, чтобы при вращении вокруг оси Ох получалась поверхность с наименьшей площадью.

Решение. Ограничимся случаем, когда обе точки находятся на одной высоте, и проведём ось Оу на равных расстояниях от этих точек. Мы можем принять, что координатами точек А, В являются соответственно и (1, k). Допустимые кривые лежат в полуплоскости .

Возьмём подлежащий минимизации функционал в параметрической форме:

Первое уравнение Эйлера—Лагранжа допускает следующий первый интеграл:

а второе уравнение Эйлера—Лагранжа, имеющее вид

показывает, что прямые

не являются экстремалями. Что же касается прямых

(2)

то они, очевидно, будут экстремалями, Дальнейшие экстремали получим, заменяя уравнение (1) на

где s - длина дуги, и интегрируя это уравнение. Интегральными кривыми, отличными от прямых х = const, являются цепные линии

Прежде всего надлежит выяснить, можно ли через точки А, В провести кривую линию семейства (3).

Этот вопрос сводится к вопросу о разрешимости уравнения

относительно С. Построим график функции

для . Так как

и, следовательно,

то график направлен своей вогнутостью вверх. Пусть функция <р (С) имеет минимум в точке (черт. 6). Тогда определяется как

корень уравнения

Приближённое значение есть

Если , то экстремали, соединяющей точки А, В, нет. При будет одна экстремаль, соединяющая точки А, В, а при таких экстремалей будет две. В этом последнем случае мы получаем два значения С: меньшему из них будет отвечать более низкая цепная линия, а большему — более высокая. Мы примем, что , и займёмся выяснением того, выполняется ли условие Якоби, так как условие Вейерштрасса здесь можно не проверять (см. задачу по 9 Дополнений).

Черт. 6.

Линейно независимые решения уравнения Якоби имеют вид

Поэтому

Точка x = 0 корнем этой фучкции не является. Поэтому вместо достаточно исследовать функцию

Эта функция в каждом из интервалов [ — 1, 0), (0, 1] убывает, так как

Далее,

так что

и

Поэтому график функции z(x) имеет вид, изображёший на черт. 7.

Черт. 7.

Мы видим, что для нижней цепной линии условие Якоби не выполнено, а для верхней оно выполнено. Итак, нижняя ценная линия не даёт минимума, а верхняя даёт сильный минимум.

Остановимся ещё на разрывном решении, к которому обязательно приходится прибегнуть, если

так как в этом случае данные точки соедипить экстремалью невозможно. Мы отбросим теперь предположение, что точки А и В лежат на одной высоте, и примем, что их координатами являются . Ломаная, состоящая из отрезков цепных линий (3) и прямых (2), не будет удовлетворять условиям Вейерштрасса — Эрдмана. Поэтому остаётся испробовать ломаную, составленную из экстремалей и куска границы области, то-есть оси Ох.

Черт. 8.

Из экстремалей, очевидно, придётся взять отрезки прямых . Указанная ломаная даёт при вращении два круга, соединённых отрезком оси . Что эта ломаная даёт сильный минимум, доказывается непосредственно. Действительно, всякая кривая L, соединяющая точки А и В и лежащая в указанной на черт. 8 сильной окрестности ломапой , имеет длину, превосходящую . Пусть точки и на L таковы, что и . Тогда из двух точек на , расстояния которых от точки А, измеренные соответственно вдоль , одинаковы, вторая будет выше. Поэтому

и аналогично

Следовательно,

Это же рассуждение показывает, что при

где l — расстояние между точками А, В, ломаная даёт абсолютный минимум.

10 (4, 15, 18). Найти минимум функционала

где , при условиях .

Решение. Первый интеграл ураввения Эйлера—Лагранжа имеет вид

Дальнейшее интегрирование даёт

или

Возьмём пучок экстремалей, проходящих через точку (0, 0). Для него

и, следовательно,

Введём в качестве параметра наклон экстренаяя в начале координат:

Это значит, что

Система (1), (3) даёт

и уравнение пучка (2) принимает вид

Найдём огибающую этого семейства парабол. Дифференцируя по , находим:

и уравнение огибающей имеет вид

Все экстремали (4) лежат внутри параболы (5), которая в баллистике носит название параболы безопасности (черт. 9). Если точка лежит вне параболы (5), то её нельзя соединить экстремалью с началом координат. Если же точка лежит внутри параболы безопасности, то в пучке (4) найдутся две параболы, соединяющие её с началом. Верхняя носит название навесной, а нижняя — настильной. Условие Вейерштрасса можно не проверять, а условие Якоби легко исследуется с помощью геометрической интерпретации сопряжённых точек. Вывод: навесная парабола минимума не даёт, а настильная даёт сильный минимум.

Черт. 9.