10. Задача вариационного исчисления в параметрической форме.

Вид функционалов, которыми мы до сих пор занимались, является недостаточно общим для геометрических приложений, так как плоская кривая может быть задана уравнением лишь в том случае, если всякая прямая, параллельная оси пересекает её не более чем в одной точке, и аналогично обстоит дело с кривыми в пространстве трёх и большего числа измерений. Вейсрштрасс показал, как избавиться от этого недостатка. Мы изложим теорию Вейерштрасса применительно к плоскому случаю

Будем рассматривать совокупность ЯК всевозможных кусочно-гладких траекторий, лежащих в заданной области G плоскости х, у. При этом под траекторией мы понимаем кривую вместе с определённым направлением её обхода. Любую такую кривую С можно задать двумя уравнениями:

где t — параметр, возрастающий от некоторого значения до другого значения когда точка пробегает кривую в назначенном на ней направлении обхода, — непрерывные функции с кусочно-непрерывными производными первого порядка, причём обе эти производные в точках их непрерывности не обращаются в нуль одновременно, а в точках разрыва производных не обращаются в нуль одновременно ни оба предельных значения слева, ни оба предельных значения справа.

Каждая из рассматриваемых кривых С имеет бесчисленное множество представлений указанного рода. Переход от представления (1) к другому подобному представлению

осуществляется с помощью преобразования параметра

где — функция, имеющая кусочно-непрерывную первую производную, которая, равно как и её предельные значения в точках разрыва, всюду положительна. Такое преобразование параметра допускает обращение

где также имеет положительную кусочно-непрерывную производную первого порядка.

Вместо функционала который мы до сих пор рассматривали и который является функционалом от вектор-функции, мы будем теперь рассматривать функционалы от линий

где точкой обозначается дифференцирование по параметру, a F означает заданную функцию, непрерывную по совокупности всех аргументов, когда точка (х, у) лежит в области у пробегают любые значения, не равные нулю одновременно, a t пробегает любой конечный интервал. Однако функция F не может быть совершенно произвольной, так как написанный интеграл должен зависеть только от кривой С, а не от той или иной параметризации этой кривой. Иначе говоря, интеграл не должен меняться при переходе от параметризации (1) к любой другой параметризации (Г), то-есть должно соблюдаться равенство

В стоящем справа интеграле сделаем замену переменной Замечая, что в силу этой замены имеют место равенства

получаем соотношение

сопоставление которого с соотношением (2) приводит к равенству

Так как подобное равенство должно выполняться для любой кривой С совокупности и так как совокупности вместе с кривой С принадлежит и любая её дуга, то равенство (3) должно иметь место при замене верхних пределов произвольным значением t из интервала Делая эту замену и дифференцируя затем по t, получим соотношение

выполнение которого для любых функций удовлетворяющих указанным выше требованиям, является необходимым и достаточным условием для того, чтобы интеграл

зависел только от кривой, а не от той или иной её параметризации.

Положим сначала

где с — постоянная. Тогда соотношение (4) примет вид

Так как надлежащим выбором кривой и её параметризации (1) можно при любом t получить для величин произвольные значения, удовлетворяющие условиям

и так как постоянная с произвольва, то полученное соотношение выражает, что подинтегральная функция F от параметра t непосредственно зависеть не должна, то-есть

Снова обратимся к соотношению (4) и положим в нём

где k - положительная постоянная. Тогда это соотношение с учётом уже полученного результата примет вид

откуда вытекает тождество

Мы видим, что подинтегральная функция должна быть однородной первой степени относительно второй пары аргументов, причём однородность должна иметь место лишь по отношению к положительному множителю k.

Можно сказать, что функция должна быть позитивно однородной первой степени по второй паре аргументов.

Легко видеть, что полученные нами условия не только необходимы, но и достаточны для справедливости общего соотношения (4), а значит и для того, чтобы интеграл (5) зависел только от кривой С.

Одной непрерывности функции для дальнейших построении мало, но вполне достаточно принять, что F трижды) непрерывно дифференцируема. Это предположение мы и сделаем.

А теперь займёмся выводом некоторых следствий из однородности функции F. Из тождества

где k - произвольная положительная величина, дифференцируя по k и затем полагая находим:

Отсюда, дифференцируя один раз по , а другой раз по , получаем равенства

из которых находим:

Общее значение написанных отношений обозначим через так что

Заметим, что но второй паре аргументов есть позитивно однородная функция степени — 3.

Для постановки задачи об относительном экстремуме функционала в параметрической форме необходимо ввести понятие о сильной и слабой окрестности кривой С. Мы будем говорить, что кривая лежит в сильной -окрестности кривой С, если существуют такие параметризации:

что для любого

В определении слабой -окрестности к этому неравенству присоединяется ещё неравенство

которое должно быть выполнено в каждой точке t, в которой все фигурирующие в неравенстве производные существуют. Неравенства, с помощью которых определяются окрестности, очевидно, инвариантны относительно допустимых преобразований параметра и имеют простой геометрический смысл. Они выражают, что существует взаимно однозначное и непрерывное соответствие между множеством всех точек кривой С и множеством всех точек кривой при котором расстояние каждой точки одной кривой от соответствующей точки другой кривой не превосходит е (первое неравенство) и угол между касательными к кривым в соответствующих точках есть величина порядка е (второе неравенство). Поясним второе утверждение. Обозначая указанный угол через будем иметь

Поэтому второе неравенство можно переписать в виде

откуда

и, следовательно,

Основная задача вариационного исчисления для рассматриваемых теперь функционалов состоит в том, чтобы найти экстремум функционала в классе всех тех кривых которые идут из заданной точки в заданную точку (этим устанавливается направление обхода на рассматриваемых кривых). При этом можно говорить об абсолютном экстремуме, а также об экстремуме относительном — сильном или слабом. Пусть допустимая кривая

даёт функционалу хотя бы слабый экстремум. Тогда функции доджны удовлетворять двум уравнениям:

где А и В — некоторые константы.

Для доказательства достаточно построить семейство допустимых кривых

где — две произвольные кусочно-гладкие функции, равные нулю на концах интервала и затем дословно повторить все рассмотрения п° 3.

Следуя п° 3, мы можем получить, кроме уравнений (8), ещё одно уравнение, а именно

Ho , и это уравнение обращается в тождество

В классе дважды дифференцируемых функций уравнения сводятся к дифференциальным уравнениям второго порядка. Одно из этих уравнений должно быть следствием другого, так как в случае независимости этих уравнений они, вообше говоря, определяли бы не только кривую, но и её параметризацию, что противоречит возможности бесчисленного множества параметризаций.

Переходя к строгому доказательству этой зависимости, продифференцируем уравнение два раза по t. Тогда оно запишется в виде

или, учитывая (7) и вытекающее из (6) тождество

в виде

Подобным образом второе из уравнений (8) перепишется в виде

Так как не могут одновременно обращаться в нуль, то уравнения (9), (10) сводятся к одному уравнению

Это уравнение называют уравнением Эйлера—Вейерштрасса. Его можно переписать в виде (если )

Левая часть есть позитивно однородная функция нулевой степени от х, у, а правая часть представляет кривизну кривой. Поэтому это уравнение, а вместе с ним и уравнение (II) не меняются при изменении параметризации.

Часто в качестве параметра берут длину дуги s. В этом случае

где — угол между касательной к кривой и осью Ох.

Если за параметр взята длина дуги s, то на каждом гладком куске кривой

а в каждой угловой точке

Гладкое решение уравнений (8) называют экстремалью Равенства (12) представляют условия Вейерштрасса — Эрдмана. Они здесь имеют одинаковый вид, что можно было ожидать наперёд, так как для задачи в параметрической форме координаты х, у равноправны.

Для функционалов в параметрической форме вводится понятие об особенных и неособенных элементах (опреде ление будет дано на стр. 53) подобно тому, как это было сделано в п° 6 для функционалов в обычной форме Однако здесь нужно учесть, что в силу однородности функции F определитель

тождественно равен нулю. Вместо этого определители приходиться взять функцию связанную следующим легко проверяемым соотношением с некоторым определителем третьего порядка:

Теперь мы можем перенести на функционалы в параметрической форме теорему Гильберта (п° 6): если

есть экстремаль функционала

а если в некоторой точке

то в некотором интервале каждая из функций имеет непрерывную производную второго порядка.

Доказательство. Напишем систему трёх уравнений с тремя неизвестными :

где А, В — те же константы, что и в уравнениях Эйлера—Лагранжа (8).

Эта система при любом s из некоторого интервала имеет решение

Якобиан левых частей уравнений (14) по равен

В «точке»

этот якобиан в силу формулы (13) равен и поэтому при отличен от нуля; значит, он отличен от нуля и при Следовательно, применима теорема о неявных функциях, в силу которой определяемые уравнениями (14) функции непрерывно дифференцируемы при .

Под элементом в случае функционала в параметрической форме мы будем понимать вместо системы четырёх чисел

систему

где — угол, для которого

Элемент будем называть неособенным, если

Условимся далее называть функционал

регулярным в точке если для любого

и ксазирегулярным, если величина

может обращаться в нуль, но знака не меняет.

В дальнейшем мы будем обычно принимать, что этим знаком является плюс.

В заключение нужно отметить, что задачу вариационного исчисления в обычной форме не следует считать устаревшей или менее важной, чем задача в параметрической форме. Это — две различные задачи, и какую из них нужно ставить, зависит от того, что ищется: функция или кривая.