Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
10. Задача вариационного исчисления в параметрической форме.Вид функционалов, которыми мы до сих пор занимались, является недостаточно общим для геометрических приложений, так как плоская кривая может быть задана уравнением Будем рассматривать совокупность ЯК всевозможных кусочно-гладких траекторий, лежащих в заданной области G плоскости х, у. При этом под траекторией мы понимаем кривую вместе с определённым направлением её обхода. Любую такую кривую С можно задать двумя уравнениями:
где t — параметр, возрастающий от некоторого значения Каждая из рассматриваемых кривых С имеет бесчисленное множество представлений указанного рода. Переход от представления (1) к другому подобному представлению
осуществляется с помощью преобразования параметра
где
где Вместо функционала
где точкой обозначается дифференцирование по параметру, a F означает заданную функцию, непрерывную по совокупности всех аргументов, когда точка (х, у) лежит в области
В стоящем справа интеграле сделаем замену переменной
получаем соотношение
сопоставление которого с соотношением (2) приводит к равенству
Так как подобное равенство должно выполняться для любой кривой С совокупности и так как совокупности вместе с кривой С принадлежит и любая её дуга, то равенство (3) должно иметь место при замене верхних пределов
выполнение которого для любых функций
зависел только от кривой, а не от той или иной её параметризации. Положим сначала
где с — постоянная. Тогда соотношение (4) примет вид
Так как надлежащим выбором кривой
и так как постоянная с произвольва, то полученное соотношение выражает, что подинтегральная функция F от параметра t непосредственно зависеть не должна, то-есть
Снова обратимся к соотношению (4) и положим в нём
где k - положительная постоянная. Тогда это соотношение с учётом уже полученного результата примет вид
откуда вытекает тождество
Мы видим, что подинтегральная функция Можно сказать, что функция Легко видеть, что полученные нами условия не только необходимы, но и достаточны для справедливости общего соотношения (4), а значит и для того, чтобы интеграл (5) зависел только от кривой С. Одной непрерывности функции А теперь займёмся выводом некоторых следствий из однородности функции F. Из тождества
где k - произвольная положительная величина, дифференцируя по k и затем полагая
Отсюда, дифференцируя один раз по
из которых находим:
Общее значение написанных отношений обозначим через
Заметим, что но второй паре аргументов Для постановки задачи об относительном экстремуме функционала в параметрической форме необходимо ввести понятие о сильной и слабой окрестности кривой С. Мы будем говорить, что кривая
что для любого
В определении слабой
которое должно быть выполнено в каждой точке t, в которой все фигурирующие в неравенстве производные существуют. Неравенства, с помощью которых определяются окрестности, очевидно, инвариантны относительно допустимых преобразований параметра и имеют простой геометрический смысл. Они выражают, что существует взаимно однозначное и непрерывное соответствие между множеством всех точек кривой С и множеством всех точек кривой
Поэтому второе неравенство можно переписать в виде
откуда
и, следовательно,
Основная задача вариационного исчисления для рассматриваемых теперь функционалов состоит в том, чтобы найти экстремум функционала
даёт функционалу
где А и В — некоторые константы. Для доказательства достаточно построить семейство допустимых кривых
где Следуя п° 3, мы можем получить, кроме уравнений (8), ещё одно уравнение, а именно
Ho
В классе дважды дифференцируемых функций Переходя к строгому доказательству этой зависимости, продифференцируем уравнение
или, учитывая (7) и вытекающее из (6) тождество
в виде
Подобным образом второе из уравнений (8) перепишется в виде
Так как
Это уравнение называют уравнением Эйлера—Вейерштрасса. Его можно переписать в виде (если
Левая часть есть позитивно однородная функция нулевой степени от х, у, а правая часть представляет кривизну кривой. Поэтому это уравнение, а вместе с ним и уравнение (II) не меняются при изменении параметризации. Часто в качестве параметра берут длину дуги s. В этом случае
где Если за параметр взята длина дуги s, то на каждом гладком куске кривой
а в каждой угловой точке
Гладкое решение уравнений (8) называют экстремалью Равенства (12) представляют условия Вейерштрасса — Эрдмана. Они здесь имеют одинаковый вид, что можно было ожидать наперёд, так как для задачи в параметрической форме координаты х, у равноправны. Для функционалов в параметрической форме вводится понятие об особенных и неособенных элементах (опреде ление будет дано на стр. 53) подобно тому, как это было сделано в п° 6 для функционалов в обычной форме Однако здесь нужно учесть, что в силу однородности функции F определитель
тождественно равен нулю. Вместо этого определители приходиться взять функцию
Теперь мы можем перенести на функционалы в параметрической форме теорему Гильберта (п° 6): если
есть экстремаль функционала
а если в некоторой точке
то в некотором интервале Доказательство. Напишем систему трёх уравнений с тремя неизвестными
где А, В — те же константы, что и в уравнениях Эйлера—Лагранжа (8). Эта система при любом s из некоторого интервала имеет решение
Якобиан левых частей уравнений (14) по
В «точке»
этот якобиан в силу формулы (13) равен Под элементом в случае функционала в параметрической форме мы будем понимать вместо системы четырёх чисел
систему
где
Элемент будем называть неособенным, если
Условимся далее называть функционал
регулярным в точке
и ксазирегулярным, если величина
может обращаться в нуль, но знака не меняет. В дальнейшем мы будем обычно принимать, что этим знаком является плюс. В заключение нужно отметить, что задачу вариационного исчисления в обычной форме не следует считать устаревшей или менее важной, чем задача в параметрической форме. Это — две различные задачи, и какую из них нужно ставить, зависит от того, что ищется: функция или кривая.
|
1 |
Оглавление
|