РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

1 (4 — 7, 19). Найти экстремали функционала

Решение, а) Функционал регулярен во всякой части плоскости, не содержащей начала координат. Теорема Гильберта (п° 6) применима и позволяет ограничиться рассмотрением уравнения Эйлера—Лагранжа в дифференциальной форме.

Выгодно от декартовых координат перейти к полярным, воспользовавшись инвариантностью уравнения Эйлера—Лагранжа. В полярных координатах функционал примет вид

и немедленно пишется первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа, а именно:

Дальнейшее интегрирование даёт

или, после перехода к первоначальным координатам,

где и — две произвольные постоянные.

б) Можно воспользоваться каноническими переменными. Полагая

получаем канонические уравнения

Первый интеграл этой системы имеет вид

Поэтому

и, значит,

откуда

и если положить

то снова получится (1).

в) Можно воспользоваться уравнением Якоби — Гамильтона:

или

Естественно искать решение в виде

Подстановка и сравнение коэффициентов дают

Таким образом, можно положить

Функция

есть решение уравнения Якоби — Гамильтона, удовлетворяющее условиям теоремы 2 п° 19. Общий интеграл уравнения Эйлера — Лагранжа поэтому имеет вид

что совпадает с (1).

2 (4, 9). Доказать, что через любые две точки плоскости с различными абсциссами проходит одна и только одна экстремаль каждого из функционалов

Решение. Это — примеры на применение георемы С. Н. Берн штейна (п° 9). Действительно, уравнение Эйлера — Лагранжа ДЛЯ обоих функционалов имеет вид

и теорема С. Н. Бернштейна применима.

3 (4, 9). Доказать, что не через всякие две точки плоскости с различными абсциссами можно провести экстремаль функционала

Решение. Уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид

и теорема С. Н. Бернштейна неприменима, но отсюда ещё не следует, что экстремаль можно провести не через всякие две точки с различными абсциссами.

Первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа имеет вид

откуда

где С — вещественная постоянная. Однако ни при каком значении постоянной С это выражение не будет вещественным для всех значений у из интервала , если, например, .

4 (4, 18). Для функционала

общий интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа имеет вид

где — произвольные постоянные; таким образом, все экстремали получаются из одной, а именно из

с помощью преобразования подобия с центром в начале координат и последующего переноса параллельно оси Ох.

Если М и М* — две сопряжённые точки на экстремали, то касательные к ней в этих точках пересекаются на оси Ох.

5 (4, 27). Доказать, что всякое уравнение

является уравнением Эйлера — Лагранжа для некоторого функционала

Как определяется функция f(x, у, у') по функции F(x, у, у')?

Найти все функционалы, для которых экстремалями являются:

а) все прямые ,

б) все параболы . Решение. Будем искать функционал

для которого уравнение Эйлера — Лагранжа

или

совпадает с уравнением

Это значит, что должно иметь место тождество по

Дифференцируя его по у', получим

Отсюда находим уравнение в частных производных для функции

а именно:

Таким образом, нахождение функционала сводится к интегрированию линейного уравнения в частных производных и квадратуре. В случае а) уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид

и для и получается уравнение

Его интегрирование даёт

где Ф — произвольная функция от своих аргументов. Отсюда

где и — произвольные функции от своих аргументов, удовлетворяющие соотношению

В случае б) уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид

и для и получается уравнение

Ищем решение в виде

Для v получается уравнение

Решаем систему

Первые интегралы имеют вид

Отсюда получаем следующее выражение для :

где — произвольная функция. Поэтому

где Ф — произвольная функция своих аргументов. Отсюда

где и — произвольные функции своих аргументов, удовлетворяющие соотношению