Главная > Лекции по вариационному исчислению
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

1 (4 — 7, 19). Найти экстремали функционала

Решение, а) Функционал регулярен во всякой части плоскости, не содержащей начала координат. Теорема Гильберта (п° 6) применима и позволяет ограничиться рассмотрением уравнения Эйлера—Лагранжа в дифференциальной форме.

Выгодно от декартовых координат перейти к полярным, воспользовавшись инвариантностью уравнения Эйлера—Лагранжа. В полярных координатах функционал примет вид

и немедленно пишется первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа, а именно:

Дальнейшее интегрирование даёт

или, после перехода к первоначальным координатам,

где и — две произвольные постоянные.

б) Можно воспользоваться каноническими переменными. Полагая

получаем канонические уравнения

Первый интеграл этой системы имеет вид

Поэтому

и, значит,

откуда

и если положить

то снова получится (1).

в) Можно воспользоваться уравнением Якоби — Гамильтона:

или

Естественно искать решение в виде

Подстановка и сравнение коэффициентов дают

Таким образом, можно положить

Функция

есть решение уравнения Якоби — Гамильтона, удовлетворяющее условиям теоремы 2 п° 19. Общий интеграл уравнения Эйлера — Лагранжа поэтому имеет вид

что совпадает с (1).

2 (4, 9). Доказать, что через любые две точки плоскости с различными абсциссами проходит одна и только одна экстремаль каждого из функционалов

Решение. Это — примеры на применение георемы С. Н. Берн штейна (п° 9). Действительно, уравнение Эйлера — Лагранжа ДЛЯ обоих функционалов имеет вид

и теорема С. Н. Бернштейна применима.

3 (4, 9). Доказать, что не через всякие две точки плоскости с различными абсциссами можно провести экстремаль функционала

Решение. Уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид

и теорема С. Н. Бернштейна неприменима, но отсюда ещё не следует, что экстремаль можно провести не через всякие две точки с различными абсциссами.

Первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа имеет вид

откуда

где С — вещественная постоянная. Однако ни при каком значении постоянной С это выражение не будет вещественным для всех значений у из интервала , если, например, .

4 (4, 18). Для функционала

общий интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа имеет вид

где — произвольные постоянные; таким образом, все экстремали получаются из одной, а именно из

с помощью преобразования подобия с центром в начале координат и последующего переноса параллельно оси Ох.

Если М и М* — две сопряжённые точки на экстремали, то касательные к ней в этих точках пересекаются на оси Ох.

5 (4, 27). Доказать, что всякое уравнение

является уравнением Эйлера — Лагранжа для некоторого функционала

Как определяется функция f(x, у, у') по функции F(x, у, у')?

Найти все функционалы, для которых экстремалями являются:

а) все прямые ,

б) все параболы . Решение. Будем искать функционал

для которого уравнение Эйлера — Лагранжа

или

совпадает с уравнением

Это значит, что должно иметь место тождество по

Дифференцируя его по у', получим

Отсюда находим уравнение в частных производных для функции

а именно:

Таким образом, нахождение функционала сводится к интегрированию линейного уравнения в частных производных и квадратуре. В случае а) уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид

и для и получается уравнение

Его интегрирование даёт

где Ф — произвольная функция от своих аргументов. Отсюда

где и — произвольные функции от своих аргументов, удовлетворяющие соотношению

В случае б) уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид

и для и получается уравнение

Ищем решение в виде

Для v получается уравнение

Решаем систему

Первые интегралы имеют вид

Отсюда получаем следующее выражение для :

где — произвольная функция. Поэтому

где Ф — произвольная функция своих аргументов. Отсюда

где и — произвольные функции своих аргументов, удовлетворяющие соотношению

1
Оглавление
email@scask.ru