Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ1 (4 — 7, 19). Найти экстремали функционала
Решение, а) Функционал регулярен во всякой части плоскости, не содержащей начала координат. Теорема Гильберта (п° 6) применима и позволяет ограничиться рассмотрением уравнения Эйлера—Лагранжа в дифференциальной форме. Выгодно от декартовых координат перейти к полярным, воспользовавшись инвариантностью уравнения Эйлера—Лагранжа. В полярных координатах функционал примет вид
и немедленно пишется первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа, а именно:
Дальнейшее интегрирование даёт
или, после перехода к первоначальным координатам,
где б) Можно воспользоваться каноническими переменными. Полагая
получаем канонические уравнения
Первый интеграл этой системы имеет вид
Поэтому
и, значит,
откуда
и если положить
то снова получится (1). в) Можно воспользоваться уравнением Якоби — Гамильтона:
или
Естественно искать решение в виде
Подстановка и сравнение коэффициентов дают
Таким образом, можно положить
Функция
есть решение уравнения Якоби — Гамильтона, удовлетворяющее условиям теоремы 2 п° 19. Общий интеграл уравнения Эйлера — Лагранжа поэтому имеет вид
что совпадает с (1). 2 (4, 9). Доказать, что через любые две точки плоскости с различными абсциссами проходит одна и только одна экстремаль каждого из функционалов
Решение. Это — примеры на применение георемы С. Н. Берн штейна (п° 9). Действительно, уравнение Эйлера — Лагранжа ДЛЯ обоих функционалов имеет вид
и теорема С. Н. Бернштейна применима. 3 (4, 9). Доказать, что не через всякие две точки плоскости с различными абсциссами можно провести экстремаль функционала
Решение. Уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид
и теорема С. Н. Бернштейна неприменима, но отсюда ещё не следует, что экстремаль можно провести не через всякие две точки с различными абсциссами. Первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа имеет вид
откуда
где С — вещественная постоянная. Однако ни при каком значении постоянной С это выражение не будет вещественным для всех значений у из интервала 4 (4, 18). Для функционала
общий интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа имеет вид
где
с помощью преобразования подобия с центром в начале координат и последующего переноса параллельно оси Ох. Если М и М* — две сопряжённые точки на экстремали, то касательные к ней в этих точках пересекаются на оси Ох. 5 (4, 27). Доказать, что всякое уравнение
является уравнением Эйлера — Лагранжа для некоторого функционала
Как определяется функция f(x, у, у') по функции F(x, у, у')? Найти все функционалы, для которых экстремалями являются: а) все прямые б) все параболы
для которого уравнение Эйлера — Лагранжа
или
совпадает с уравнением
Это значит, что должно иметь место тождество по
Дифференцируя его по у', получим
Отсюда находим уравнение в частных производных для функции
а именно:
Таким образом, нахождение функционала сводится к интегрированию линейного уравнения в частных производных и квадратуре. В случае а) уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид
и для и получается уравнение
Его интегрирование даёт
где Ф — произвольная функция от своих аргументов. Отсюда
где
В случае б) уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид
и для и получается уравнение
Ищем решение в виде
Для v получается уравнение
Решаем систему
Первые интегралы имеют вид
Отсюда получаем следующее выражение для
где
где Ф — произвольная функция своих аргументов. Отсюда
где
|
1 |
Оглавление
|