ГЛАВА III. РАЗЛИЧНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ

20. Понятие о вариациях функционала.

В самом начале книги при выводе первого необходимого условия для экстремума мы строили однопараметрпческое семейство допустимых вектор-функций [обозначим его ] которое (при ) содержало вектор-функцию , доставлявшую экстремум изучавшемуся там функционалу. Можно сказать, что мы погружали вектор-функцию в однопараметрическое семейство допустимых вектор-функций. Так как речь шла об экстремуме в классе вектор-функций, подчинённых единственному требованию принимать заданные значения на концах интервала, то мы для этого полагали

где — произвольно выбранная (кусочно-гладкая) вектор-функция, равная нулю на концах интервала.

В случае более сложных краевых условий, когда концы допустимых кривых не зафиксированы, а, например, скользят по заданным кривым или поверхностям, и особенно когда ещё заданы некоторые соотношения или связи, которым искомая функция должна удовлетворять, задача погружения какой-нибудь допустимой функции в семейство подобных функций может представить некоторые трудности. Ниже, при рассмотрении ряда наиболее важных обобщений основной задачи вариационного исчисления, мы будем решать эту задачу. Здесь же предположим, что требуемое семейство построено. При этом примем для простоты, что то-есть что речь идёт о кривых на плоскости. Пусть упомянутое семейство допустимых функций задаётся уравнением

где — кусочно-гладкие функции от и пусть

Таким образом, при изменении параметра е кривая (1) варьируется, то-есть деформируется и перемещается, но не перестаёт удовлетворять краевым условиям и дополнительным связям. Явное выражение функции , вообще говоря, не нужно. Необходима лишь принципиальная возможность построения семейства. Однако часто весьма существенно, что при построении семейства остаётся определённый произвол; например, в случае основной задачи этот произвол был следствием произвола в выборе кусочно-гладкой вектор-функции . Впрочем, на настоящей стадии исследования вопрос об упомянутом произволе роли не играет. Просто-напросто, имея семейство (1), мы вычисляем на нём наш функционал совершенно не думая при этом о связях и краевых условиях, так как они выполняются автоматически. Этот функционал оказывается функцией от s, и, желая записать, что функция даёт функционалу экстремум, мы должны приравнять нулю производную от этой функции по при :

Вместо производной можно, конечно, взять дифференциал по s. Этот дифференциал в отличие от дифференциала по х обозначают символом (вместо d) и называют первой вариацией функционала. Так, например, в простейшем случае основной задачи, когда

и

первая вариация равна

Вычисление первой вариации в случае основной задачи привело нас к первому необходимому условию для экстремума — уравнению Эйлера — Лагранжа. Это последнее уравнение можно рассматривать как необходимое и достаточное условие для равенства нулю первой вариации функционала или, как принято говорить, для стационарности функционала Но в случае основной задачи мы фактически рассматривали и вторую вариацию

представляющую дифференциал второго порядка по s. Действительно, введённый в п° 18 присоединённый функционал отличается от второй вариации лишь постоянным положительным множителем.

Подобно тому как дифференциалы различных порядков входят в разложение конечного приращения функции, вариации функционала с надлежащими множителями являются последовательными членами конечного приращения функционала:

Введённым в настоящем параграфе понятиям и обязано своим происхождением само название «вариационное исчисление».

В приложениях вариационное исчисление чаще всего служит для вывода дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять те или иные функции, а также соотношений, которые должны иметь место в граничных точках или точках излома. Для этих целей нужна лишь первая вариация. Исключительно с первой вариацией мы и будем иметь дело в настоящей главе при разборе различных обобщений основной задачи, бывшей предметом первой главы.

Наш анализ, конечно, не позволит дать сводку необходимых или достаточных условий для минимума и максимума. Чтобы подобные условия получить, пришлось бы в той или иной мере обобщить также и результаты второй главы. Однако такое обобщение выходит за рамки настоящей книги.