28 (26). Задача С. А. Чаплыгина.

По какой замкнутой кривой в горизонтальной плоскости должен двигаться центр тяжести самолёта, имеющего собственную скорость , чтобы за время Т облететь наибольшую площадь, если даны постоянное направление и постоянная величина скорости ветра?

Решение. Направим ось Ох по скорости ветра. Пусть — угол между направлением оси самолёта и осью — координаты центра тяжести самолёта. Тогда проекции абсолютной скорости самолёта будут

(1)

а площадь, которую самолёт облетит, равна

Мы имеем здесь задачу Лагранжа при двух неголономных связях. Составляем вспомогательный функционал

где — неизвестные функции от t. Уравнения Эйлера—Лагранжа имеют вид

Первые два из них немедленно интегрируются и дают

если произвольные постоянные интегрирования считать равными нулю за счёт параллельного переноса осей. Из уравнений (2) и (3) следует . Поэтому можно положить , а из уравнений (1) следует, что

А так как

то

Интегрирование этого уравнения даёт

Это есть уравнение эллипса с фокусом в начале координат, большой осью, перпендикулярной к направлению ветра, и эксцентриситетом .

29 (22). При выводе уравнения Эйлера — Лагранжа для двойного интеграла (см. ) мы предполагали, что рассматриваемая функция имеет непрерывные производные второго порядка. Между тем для простых интегралов предполагалось лишь существование первой производной.

Возникает вопрос, нельзя ли для двойных интегралов также построить соответствующую более общую теорию. Некоторые результаты в этом направлении получены А. Хааром и его учениками. Основою этих обобщений является следующая Теорема Хаара. Если кусочно-гладкая функция доставляет функционалу

стационарное значение (при заданных значениях на границе области D), то

для любой односвязной области с кусочно-гладкой границей .

В частном случае, когда и явно не содержится в функции , этот результат сводится к тому, что выражение должно быть полным дифференциалом некоторой функции в каждой односвязной части области D.

Не мешает подчеркнуть, что именно в таком виде получил Лагранж свой результат относительно минимальных поверхностей.

Переходя к теореме Хаара, заметим, что её достаточно доказать для случая, когда есть прямоугольник, скажем, с противоположными вершинами .

Обращение в нуль первой вариации для этой области сводится к тому, что

для любой кусочно-гладкой функции , равной нулю на границе прямоугольника.

Мы можем здесь, в частности, принять, что

где

Тогда (2) примет вид

и интегрирование по частям даёт:

Считая функцией фиксированной и применяя здесь известный результат, относящийся к простому интегралу, получаем:

где С — некоторая константа. Полагая , находим:

Поэтому равенство (3) принимает вид

Интегрируя по частям, получаем:

Снова с помощью построений, относящихся к простым интегралам, находим:

Чтобы определить , полагаем . Это даёт

Подставляя это значение в формулу (4) и заменяя х на а у на мы и получим подлежащее доказательству равенство (1).

В приведённых нами рассуждениях неявно содержится доказательство второй части следующего предложения, которое иногда называют леммой Хаара: Пусть Р и Q — две непрерывные функции в односвязной области D, ограниченной кусочно-гладким контуром; в таком случае для равенства нулю интеграла

по любому замкнутому контуру, лежащему внутри D, необходимо и достаточно, чтобы для каждой гладкой в D функции , равной нулю на границе D, удовлетворялось равенство

Займёмся первой частью предложения, которая состоит в том, что из равенства нулю интеграла (5) по любому замкнутому контуру следует равенство (6), какова бы ни была гладкая в D функция , равная нулю на границе D. В нашем случае, когда границей D является кусочно-гладкий контур С, этот факт доказывается очень просто.

Действительно, из равенства нулю интеграла (5) по любому лежащему внутри D контуру у следует, что в D существует гладкая функция , для которой

Поэтому

Но, как известно,

а интеграл справа равен нулю, так как С на контуре С равняется нулю.