34. Множество собственных значений проблемы Штурма—Лиувилля

не может быть ограниченным сверху. Действительно, допустим, что

В таком случае

где — последовательность собственных функций, ортогональных и нормированных относительно веса . Но из (1) вытекает, что

откуда, как и в п° 28, следует, что

а значит, последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна в интервале Поэтому применима теорема Арцела, в силу которой существует подпоследовательность равномерно сходящаяся в интервале . Следовательно,

что абсурдно, так как при

35. Теорема замкнутости В. А. Стеклова. Всякая ортогональная система функций порождает ряды, подобные тригонометрическим рядам Фурье. В частности, такие ряды порождает система собственных функций

проблемы Штурма—Лиувилля. А именно каждой суммируемой функции можно отнести ряд по функциям (1)

где

Впервые В. А. Стеклов доказал, что если f(x) имеет интегрируемый квадрат модуля, то

Это соотношение, известное для тригонометрических рядов Фурье под названием равенства Парсеваля—Ляпунова, было названо В. А. Стекловым уравнением замкнутости.

Его, очевидно, достаточно доказать для вещественных функций. Мы, кроме того, будем предполагать, что f(х) есть абсолютно непрерывная функция, равная нулю при .

Для доказательства теоремы В. А. Стеклова нам понадобится установленная в предыдущем п° неограниченность сверху последовательности собственных значений.

Пусть — абсолютно непрерывная функция, равная нулю при . Положим

где коэффициенты определяются формулами (2).

Так как при обращаются в нуль все функции , а также функция , то

Дальнейшим свойством функции являются равенства

которые вытекают из определения коэффициентов . Если мы положим

то получим поэтому функцию, для которой

Таким образом, является допустимой функцией при нахождении вариационным путём собственного значения. Следовательно,

откуда

Заметим теперь, что из формулы (4) вытекает равенство

Действительно, на основании (4)

Формула (6) показывает, что доказательство уравнения замкнутости сводится к доказательству равенства

А так как

то, как показывает неравенство (5), достаточно установить, что величина при ограничена сверху.

Для доказательства этого факта напишем вытекающее из (4) равенство

в правой части которого фигурирует как квадратичный, так и билинейный функционал, введённый в п° 33 Дополнений. На основании равенства (5) п° 33 Дополнений

Равным образом

Следовательно,

Так как , то все , начиная с некоторого, положительны. Из формулы (7) поэтому следует, что величина , начиная с некоторого номера, убывает. Следовательно, величина имеет конечную верхнюю грань, и теорема доказана.