Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
34. Множество собственных значений проблемы Штурма—Лиувилля
не может быть ограниченным сверху. Действительно, допустим, что
В таком случае
где
откуда, как и в п° 28, следует, что
а значит, последовательность
что абсурдно, так как при
35. Теорема замкнутости В. А. Стеклова. Всякая ортогональная система функций порождает ряды, подобные тригонометрическим рядам Фурье. В частности, такие ряды порождает система собственных функций
проблемы Штурма—Лиувилля. А именно каждой суммируемой функции
где
Впервые В. А. Стеклов доказал, что если f(x) имеет интегрируемый квадрат модуля, то
Это соотношение, известное для тригонометрических рядов Фурье под названием равенства Парсеваля—Ляпунова, было названо В. А. Стекловым уравнением замкнутости. Его, очевидно, достаточно доказать для вещественных функций. Мы, кроме того, будем предполагать, что f(х) есть абсолютно непрерывная функция, равная нулю при Для доказательства теоремы В. А. Стеклова нам понадобится установленная в предыдущем п° неограниченность сверху последовательности собственных значений. Пусть
где коэффициенты Так как при
Дальнейшим свойством функции
которые вытекают из определения коэффициентов
то получим поэтому функцию, для которой
Таким образом,
откуда
Заметим теперь, что из формулы (4) вытекает равенство
Действительно, на основании (4)
Формула (6) показывает, что доказательство уравнения замкнутости сводится к доказательству равенства
А так как
то, как показывает неравенство (5), достаточно установить, что величина Для доказательства этого факта напишем вытекающее из (4) равенство
в правой части которого фигурирует как квадратичный, так и билинейный функционал, введённый в п° 33 Дополнений. На основании равенства (5) п° 33 Дополнений
Равным образом
Следовательно,
Так как
|
1 |
Оглавление
|