Главная > Лекции по вариационному исчислению
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

34. Множество собственных значений проблемы Штурма—Лиувилля

не может быть ограниченным сверху. Действительно, допустим, что

В таком случае

где — последовательность собственных функций, ортогональных и нормированных относительно веса . Но из (1) вытекает, что

откуда, как и в п° 28, следует, что

а значит, последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна в интервале Поэтому применима теорема Арцела, в силу которой существует подпоследовательность равномерно сходящаяся в интервале . Следовательно,

что абсурдно, так как при

35. Теорема замкнутости В. А. Стеклова. Всякая ортогональная система функций порождает ряды, подобные тригонометрическим рядам Фурье. В частности, такие ряды порождает система собственных функций

проблемы Штурма—Лиувилля. А именно каждой суммируемой функции можно отнести ряд по функциям (1)

где

Впервые В. А. Стеклов доказал, что если f(x) имеет интегрируемый квадрат модуля, то

Это соотношение, известное для тригонометрических рядов Фурье под названием равенства Парсеваля—Ляпунова, было названо В. А. Стекловым уравнением замкнутости.

Его, очевидно, достаточно доказать для вещественных функций. Мы, кроме того, будем предполагать, что f(х) есть абсолютно непрерывная функция, равная нулю при .

Для доказательства теоремы В. А. Стеклова нам понадобится установленная в предыдущем п° неограниченность сверху последовательности собственных значений.

Пусть — абсолютно непрерывная функция, равная нулю при . Положим

где коэффициенты определяются формулами (2).

Так как при обращаются в нуль все функции , а также функция , то

Дальнейшим свойством функции являются равенства

которые вытекают из определения коэффициентов . Если мы положим

то получим поэтому функцию, для которой

Таким образом, является допустимой функцией при нахождении вариационным путём собственного значения. Следовательно,

откуда

Заметим теперь, что из формулы (4) вытекает равенство

Действительно, на основании (4)

Формула (6) показывает, что доказательство уравнения замкнутости сводится к доказательству равенства

А так как

то, как показывает неравенство (5), достаточно установить, что величина при ограничена сверху.

Для доказательства этого факта напишем вытекающее из (4) равенство

в правой части которого фигурирует как квадратичный, так и билинейный функционал, введённый в п° 33 Дополнений. На основании равенства (5) п° 33 Дополнений

Равным образом

Следовательно,

Так как , то все , начиная с некоторого, положительны. Из формулы (7) поэтому следует, что величина , начиная с некоторого номера, убывает. Следовательно, величина имеет конечную верхнюю грань, и теорема доказана.

1
Оглавление
email@scask.ru