Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
15. Достаточные условия для сильного и слабого минимума функционала в обычной форме.Пусть
соединяющая точки В таком случае справедливы следующие утверждения: 1) Если экстремаль
где 2) Если экстремаль
при произвольных вещественных Условие (3) при
Роль этого неравенства, а также ослабленного неравенства
впервые обнаружил Лежандр, в честь которого требование о выполнении неравенства
называют условием Лежандра, а неравенства (3) — усиленным условием Лежандра. Требование о выполнении неравенства (2) называют условием Вейерштрасса (иногда добавляют: для поля). Приступим к доказательству первого предложения. Возьмём какую-нибудь кусочно-гладкую кривую Так как вдоль экстремали
и так как интеграл Гильберта не зависит от пути, то
Поэтому
В силу условия Вейерштрасса (2) правая часть неотрицательна, чем и доказано, что
Переходя ко второму предложению, рассмотрим вещественную квадратичную форму
и введём её минимум на гиперсфере Как легко видеть, Заметим также, что для любых вещественных
По условию мы имеем неравенство
Из него и непрерывности функции
если только
Выберем теперь настолько малое положительное число
лежала в области D и удовлетворяла неравенству
Возможность такого выбора величины
и, значит, требуемое неравенство имеет вид
Справедливость же последнего неравенства при достаточно малом Возьмём теперь произвольную гладкую кривую
из слабой
Но по формуле (2) п° 14
где
а с другой стороны,
то условия (6) выполнены. Следовательно, справедливо неравенство (5), а поэтому в силу (4) во всём интервале
Значит,
и второе предложение доказано. Критерии настоящего параграфа показывают целесообразность выделения класса функционалов, для которых при любом конечном векторе Z в любой точке
или хотя бы ослабленное неравенство
В первом случае функционал называют регулярным, а во втором — квазирегулярным. Условие Вейерштрасса (2) для квазирегулярных функционалов выполняется автоматически.
|
1 |
Оглавление
|