15. Достаточные условия для сильного и слабого минимума функционала в обычной форме.

Пусть есть экстремаль функционала

соединяющая точки . Будем говорить, что её можно окружить полем, если существует поле, покрывающее некоторую область, содержащую экстремаль и такое, что экстремаль является одною из траекторий этого поля.

В таком случае справедливы следующие утверждения:

1) Если экстремаль можно окружить полем и если в некоторой области (назовём её D), содержащей экстремаль и покрытой полем, для любого конечного значения вектора Q имеет место неравенство

где — наклон поля, то экстремаль даёт функционалу (1) сильный минимум.

2) Если экстремаль можно окружить полем и если

при произвольных вещественных , то экстремаль даёт слабый минимум.

Условие (3) при принимает вид

Роль этого неравенства, а также ослабленного неравенства

впервые обнаружил Лежандр, в честь которого требование о выполнении неравенства

называют условием Лежандра, а неравенства (3) — усиленным условием Лежандра.

Требование о выполнении неравенства (2) называют условием Вейерштрасса (иногда добавляют: для поля). Приступим к доказательству первого предложения. Возьмём какую-нибудь кусочно-гладкую кривую (коротко обозначим её L), лежащую в области D и удовлетворяющую рассматриваемым краевым условиям.

Так как вдоль экстремали которую обозначим через L, имеет место равенство

и так как интеграл Гильберта не зависит от пути, то

Поэтому

В силу условия Вейерштрасса (2) правая часть неотрицательна, чем и доказано, что

Переходя ко второму предложению, рассмотрим вещественную квадратичную форму

и введём её минимум на гиперсфере который обозначим .

Как легко видеть, есть непрерывная функция своих аргументов.

Заметим также, что для любых вещественных

По условию мы имеем неравенство

Из него и непрерывности функции следует, что при достаточно малом будет во всяком случае выполнено неравенство

если только

Выберем теперь настолько малое положительное число чтобы всякая кривая для которой

лежала в области D и удовлетворяла неравенству

Возможность такого выбора величины вытекает из того, что

и, значит, требуемое неравенство имеет вид

Справедливость же последнего неравенства при достаточно малом есть следствие непрерывности функции .

Возьмём теперь произвольную гладкую кривую

из слабой -окрестности кривой удовлетворяющую рассматриваемым краевым условиям. Тогда, как и выше, будем иметь

Но по формуле (2) п° 14

где

так как, с одной стороны,

а с другой стороны,

то условия (6) выполнены. Следовательно, справедливо неравенство (5), а поэтому в силу (4) во всём интервале выполняется неравенство

Значит,

и второе предложение доказано.

Критерии настоящего параграфа показывают целесообразность выделения класса функционалов, для которых при любом конечном векторе Z в любой точке имеет место неравенство

или хотя бы ослабленное неравенство

В первом случае функционал называют регулярным, а во втором — квазирегулярным.

Условие Вейерштрасса (2) для квазирегулярных функционалов выполняется автоматически.