Макеты страниц
15. Достаточные условия для сильного и слабого минимума функционала в обычной форме.Пусть
соединяющая точки В таком случае справедливы следующие утверждения: 1) Если экстремаль
где 2) Если экстремаль
при произвольных вещественных Условие (3) при
Роль этого неравенства, а также ослабленного неравенства
впервые обнаружил Лежандр, в честь которого требование о выполнении неравенства
называют условием Лежандра, а неравенства (3) — усиленным условием Лежандра. Требование о выполнении неравенства (2) называют условием Вейерштрасса (иногда добавляют: для поля). Приступим к доказательству первого предложения. Возьмём какую-нибудь кусочно-гладкую кривую Так как вдоль экстремали
и так как интеграл Гильберта не зависит от пути, то
Поэтому
В силу условия Вейерштрасса (2) правая часть неотрицательна, чем и доказано, что
Переходя ко второму предложению, рассмотрим вещественную квадратичную форму
и введём её минимум на гиперсфере Как легко видеть, Заметим также, что для любых вещественных
По условию мы имеем неравенство
Из него и непрерывности функции
если только
Выберем теперь настолько малое положительное число
лежала в области D и удовлетворяла неравенству
Возможность такого выбора величины
и, значит, требуемое неравенство имеет вид
Справедливость же последнего неравенства при достаточно малом Возьмём теперь произвольную гладкую кривую
из слабой
Но по формуле (2) п° 14
где
а с другой стороны,
то условия (6) выполнены. Следовательно, справедливо неравенство (5), а поэтому в силу (4) во всём интервале
Значит,
и второе предложение доказано. Критерии настоящего параграфа показывают целесообразность выделения класса функционалов, для которых при любом конечном векторе Z в любой точке
или хотя бы ослабленное неравенство
В первом случае функционал называют регулярным, а во втором — квазирегулярным. Условие Вейерштрасса (2) для квазирегулярных функционалов выполняется автоматически.
|
1 |
Оглавление
|