35. Одно вспомогательное предложение.
Доказательству теоремы Тонелли предпошлём следующее вспомогательное предложение.
Лемма (Руссель). Криволинейный интеграл
где Р и Q — непрерывные функции, есть непрерывный функционал на совокупности кривых С, длины которых ограничены.
Доказательство. Пусть
— некоторая кривая из рассматриваемой совокупности и D — некоторая ограниченная область, содержащая кривую
.
Задавшись числом
, найдём в силу непрерывности в D функций Р и Q такое
, что колебание каждой из функций Р, Q не превосходит
в любом круге радиуса
с центром в области D. Кривую
можно покрыть конечным числом таких кругов, и с помощью эюго покрытия кривая
разобьётся на
, перенумерованных соответственно возрастанию длины дуги таким образом, что каждая из этих
будет целиком лежать внутри одного из указанных кругов. Добавляя в случае нужды некоторое конечное число дальнейших кругов радиуса
, мы сможем принять, что каждой из
соответствует свой, содержащий её круг. Эти круги, таким образом, тоже будут перенумерованы по номерам содержащихся в них
. Обозначим их
.
Пусть
есть верхняя грань длин кривых С, а М — верхняя грань функций
в области D. Задавшись произвольным числом
, прежде всего зафиксируем
, удовлетворяющее неравенству
Имея
, определим, как указано выше,
, а затем и
. После этого возьмём какое-нибудь
, удовлетворяющее неравенству
и такое, что круг радиуса
с центром в любой точке дуги
лежит внутри круга
.
Теперь возьмём любую кривую С нашей совокупности, лежащую в
-окрестности кривой
, и докажем, что
Тем самым лемма будет доказана.
Напомним, что по принятому в
определению кривая С принадлежит
-окрестности кривой
, если существуют такие параметризации
что
Пусть разбиению кривой
на дуги
соответствует разбиение
интервала
. Оно порождает разбиение кривой С на дуги
причём дуга
будет лежать целиком внутри круга
Введём в рассмотрение интеграл
где
представляют значения функций Р и Q в центре круга К. В таком случае
и аналогично
С другой стороны,
Поэтому прибавляя и вычитая интегралы по поперечным отрезкам
(черт. 5), получим неравенство
Черт. 5.
Учитывая (1), (2) и (3), находим:
что и требовалссь доказать.