35. Одно вспомогательное предложение.

Доказательству теоремы Тонелли предпошлём следующее вспомогательное предложение.

Лемма (Руссель). Криволинейный интеграл

где Р и Q — непрерывные функции, есть непрерывный функционал на совокупности кривых С, длины которых ограничены.

Доказательство. Пусть — некоторая кривая из рассматриваемой совокупности и D — некоторая ограниченная область, содержащая кривую .

Задавшись числом , найдём в силу непрерывности в D функций Р и Q такое , что колебание каждой из функций Р, Q не превосходит в любом круге радиуса с центром в области D. Кривую можно покрыть конечным числом таких кругов, и с помощью эюго покрытия кривая разобьётся на , перенумерованных соответственно возрастанию длины дуги таким образом, что каждая из этих будет целиком лежать внутри одного из указанных кругов. Добавляя в случае нужды некоторое конечное число дальнейших кругов радиуса , мы сможем принять, что каждой из соответствует свой, содержащий её круг. Эти круги, таким образом, тоже будут перенумерованы по номерам содержащихся в них . Обозначим их .

Пусть есть верхняя грань длин кривых С, а М — верхняя грань функций в области D. Задавшись произвольным числом , прежде всего зафиксируем , удовлетворяющее неравенству

Имея , определим, как указано выше, , а затем и . После этого возьмём какое-нибудь , удовлетворяющее неравенству

и такое, что круг радиуса с центром в любой точке дуги лежит внутри круга .

Теперь возьмём любую кривую С нашей совокупности, лежащую в -окрестности кривой , и докажем, что

Тем самым лемма будет доказана.

Напомним, что по принятому в определению кривая С принадлежит -окрестности кривой , если существуют такие параметризации

что

Пусть разбиению кривой на дуги соответствует разбиение

интервала . Оно порождает разбиение кривой С на дуги причём дуга будет лежать целиком внутри круга Введём в рассмотрение интеграл

где представляют значения функций Р и Q в центре круга К. В таком случае

и аналогично

С другой стороны,

Поэтому прибавляя и вычитая интегралы по поперечным отрезкам (черт. 5), получим неравенство

Черт. 5.

Учитывая (1), (2) и (3), находим:

что и требовалссь доказать.