Главная > Лекции по вариационному исчислению
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

17 (4, 15, 18). Задача о брахистохроне.

Найти в вертикальной плоскости кривую, соединяющую две заданные точки, вдоль которой время падения тяжёлой точки, движущейся без сопротивления и начальной скорости, имеет наименьшее значение.

Решение. Подлежит минимизации функционал

Первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа имеет вид

откуда

Полагаем

где t — параметр. Тогда

и, значит,

откуда

а представим в виде

Берем «единичную» циклоиду

затем точку соединяем с О прямой линией и находим точку N пересечения с единичной циклоидой (черт. 10). Отношение даёт коэффициент подобия, с помощью которого из единичной циклоиды получается единственная соединяющая точки О и М экстремаль

Для дальнейшего изучения целесообразно перейти к параметрической форме. В таком случае существование поля очевидно: оно порождается кусками циклоид

Черт. 10.

где С — пробегает все положительные значения. Условие Вейерштрасса можно не проверять. Сильный минимум есть.

18 (19). Поверхностью Лиувилля называется поверхность, на которой дифференциал дуги можно представить в виде

Найти уравнение геодезических линий на поверхности Лиувилля.

Решение. Задача состоит в нахождении экстремалей функционала

Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид

Ищем интеграл в форме

Это дает

Поэтому

и для нахождения экстремалей нужно составить уравнение

Оно дает

Частным случаем поверхности Лиувилля является поверхность вращения. Действительно, её уравнения в цилиндрических координатах имеют вид

Поэтому

и если ввести вместо новую криволинейную координату

так что

то выражение (2) примет вид

что является частным случаем (1).

Геодезические линии на поверхности вращения являются экстремалями функционала

Здесь сразу пишется первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа, а именно:

или

Это соотношение выражает следующую теорему Клеро:

В каждой точке любой геодезической на поверхности вращения произведение радиуса параллели на синус угла между геодезической и меридианом есть величина постоянная (черт. 11):

Черт. 11.

19 (10). Найти геодезические линии в -мерном пространстве с метрической формой

Решение. Задача состоит в нахождении экстремалей функционала в параметрической форме

Имеем n уравнений Эйлера—Лагранжа:

Эти уравнения не независимы: одно — следствие остальных . Поэтому можно наложить условие

означающее, что в качестве параметра выбрана длина дуги. Тогда уравнения (1) примут вид

Вводя символы Кристоффеля

и

где величины определяются равенствами

можно представить дифференциальные уравнения геодезических в виде

1
Оглавление
email@scask.ru