17 (4, 15, 18). Задача о брахистохроне.

Найти в вертикальной плоскости кривую, соединяющую две заданные точки, вдоль которой время падения тяжёлой точки, движущейся без сопротивления и начальной скорости, имеет наименьшее значение.

Решение. Подлежит минимизации функционал

Первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа имеет вид

откуда

Полагаем

где t — параметр. Тогда

и, значит,

откуда

а представим в виде

Берем «единичную» циклоиду

затем точку соединяем с О прямой линией и находим точку N пересечения с единичной циклоидой (черт. 10). Отношение даёт коэффициент подобия, с помощью которого из единичной циклоиды получается единственная соединяющая точки О и М экстремаль

Для дальнейшего изучения целесообразно перейти к параметрической форме. В таком случае существование поля очевидно: оно порождается кусками циклоид

Черт. 10.

где С — пробегает все положительные значения. Условие Вейерштрасса можно не проверять. Сильный минимум есть.

18 (19). Поверхностью Лиувилля называется поверхность, на которой дифференциал дуги можно представить в виде

Найти уравнение геодезических линий на поверхности Лиувилля.

Решение. Задача состоит в нахождении экстремалей функционала

Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид

Ищем интеграл в форме

Это дает

Поэтому

и для нахождения экстремалей нужно составить уравнение

Оно дает

Частным случаем поверхности Лиувилля является поверхность вращения. Действительно, её уравнения в цилиндрических координатах имеют вид

Поэтому

и если ввести вместо новую криволинейную координату

так что

то выражение (2) примет вид

что является частным случаем (1).

Геодезические линии на поверхности вращения являются экстремалями функционала

Здесь сразу пишется первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа, а именно:

или

Это соотношение выражает следующую теорему Клеро:

В каждой точке любой геодезической на поверхности вращения произведение радиуса параллели на синус угла между геодезической и меридианом есть величина постоянная (черт. 11):

Черт. 11.

19 (10). Найти геодезические линии в -мерном пространстве с метрической формой

Решение. Задача состоит в нахождении экстремалей функционала в параметрической форме

Имеем n уравнений Эйлера—Лагранжа:

Эти уравнения не независимы: одно — следствие остальных . Поэтому можно наложить условие

означающее, что в качестве параметра выбрана длина дуги. Тогда уравнения (1) примут вид

Вводя символы Кристоффеля

и

где величины определяются равенствами

можно представить дифференциальные уравнения геодезических в виде