Макеты страниц
17 (4, 15, 18). Задача о брахистохроне.Найти в вертикальной плоскости кривую, соединяющую две заданные точки, вдоль которой время падения тяжёлой точки, движущейся без сопротивления и начальной скорости, имеет наименьшее значение. Решение. Подлежит минимизации функционал
Первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа имеет вид
откуда
Полагаем
где t — параметр. Тогда
и, значит,
откуда
а
Берем «единичную» циклоиду
затем точку
Для дальнейшего изучения целесообразно перейти к параметрической форме. В таком случае существование поля очевидно: оно порождается кусками циклоид
Черт. 10. где С — пробегает все положительные значения. Условие Вейерштрасса можно не проверять. Сильный минимум есть. 18 (19). Поверхностью Лиувилля называется поверхность, на которой дифференциал дуги можно представить в виде
Найти уравнение геодезических линий на поверхности Лиувилля. Решение. Задача состоит в нахождении экстремалей функционала
Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
Ищем интеграл в форме
Это дает
Поэтому
и для нахождения экстремалей нужно составить уравнение
Оно дает
Частным случаем поверхности Лиувилля является поверхность вращения. Действительно, её уравнения в цилиндрических координатах имеют вид
Поэтому
и если ввести вместо
так что
то выражение (2) примет вид
что является частным случаем (1). Геодезические линии на поверхности вращения являются экстремалями функционала
Здесь сразу пишется первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа, а именно:
или
Это соотношение выражает следующую теорему Клеро: В каждой точке любой геодезической на поверхности вращения произведение радиуса параллели на синус угла между геодезической и меридианом есть величина постоянная (черт. 11):
Черт. 11. 19 (10). Найти геодезические линии в
Решение. Задача состоит в нахождении экстремалей функционала в параметрической форме
Имеем n уравнений Эйлера—Лагранжа:
Эти уравнения не независимы: одно — следствие остальных
означающее, что в качестве параметра выбрана длина дуги. Тогда уравнения (1) примут вид
Вводя символы Кристоффеля
и
где величины
можно представить дифференциальные уравнения геодезических в виде
|
1 |
Оглавление
|