5. Инвариантность уравнений Эйлера—Лагранжа.

Подвергнем независимую переменную преобразованию:

При этом мы должны предположить, что имеет непрерывную и отличную от нуля, скажем положительную, производную в некотором интервале , который с помощью (1) переходит в интервал .

Полагая для удобства

преобразуем с помощью (1) функционал

в функционал

где

При этом краевые условия

переходят в

Необходимо заметить, что подинтегральная функция функционала, полученного в результате преобразования, может не иметь производной по . Если мы хотим, чтобы она имела некоторое число производных по этой переменной, то мы должны потребовать, чтобы надлежащее число производных имела функция При этом, конечно, предполагается, что подинтегральная функция первоначального функционала достаточное число раз дифференцируема.

Положим теперь, что вектор-функция удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа для функционала (2) и условиям (4). Введём вектор-функцию

которая условиям (5), очевидно, удовлетворяет. Но будет ли вектор-функция удовлетворять уравнениям Эйлера — Лагранжа для функционала (3)? Иначе говоря, можно ли утверждать, что свойство вектор-функции удовлетворять уравнениям Эйлера — Лагранжа инвариантно относительно рассматриваемого преобразования? Докажем, что ответ на этот вопрос утвердителен.

С этой целью возьмём произвольную кусочно-гладкую вектор-функцию равную нулю на концах интервала, и, выразив с помощью (1) и через положим

Затем возьмём функцию

которую можно представить также в виде

Учитывая, что удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа для функционала (2), мы заключаем на основании второго представления функции что . Поэтому

Отсюда, как и в получается, что вектор-функция удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа в интегральной форме для функционала (3).

Покажем, что при некоторых условиях инвариантность уравнений Эйлера — Лагранжа имеет место и для преобразований общего вида, в которых участвует не только независимая переменная но и вектор-функция Y.

Пусть такое преобразование задаётся формулами

Мы примем, что эти формулы определяют трижды непрерывно дифференцируемое и взаимно однозначное отображение некоторой области Н пространства на область . Кроме того, примем, что всюду в области Н

Рассматривая функционал (2) при краевых условиях (4), будем теперь предполагать, что точки лежат в области G. Преобразование (6) относит этим точкам точки области Н, которые мы соответственно обозначим или короче Не нарушая общности, примем, что , и для определённости положим, что Функционал (2) с помощью преобразования (6) переходит в криволинейный интеграл, который мы будем рассматривать лишь на кривых вида

лежащих в области . Этот криволинейный интеграл есть некоторый новый функционал, который мы обозначим

Так как функции (6) предполагаются трижды непрерывно дифференцируемыми, то, как нетрудно проверить, функция имеет непрерывные частные производные первых двух порядков по всем аргументам.

Пусть кривая

удовлетворяющая уравнениям Эйлера — Лагранжа для функционала (2) и краевым условиям (4) и лежащая в области G, является отображением кривой

Мы докажем, что вектор-функция удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа для нового функционала Однако для доказательства нам придётся предположить, что вектор-функция , а значит, и вектор-функция дважды непрерывно дифференцируемы.

Приступая к доказательству, возьмём в интервале произвольную дважды непрерывно дифференцируемую вектор-функцию равную нулю на концах интервала и положим

Эта, зависящая от параметра е, кривая переходит при преобразовании (6) в кривую с параметрическими уравнениями

При уравнения (9) могут быть заменены обычными уравнениями

Следовательно,

Отсюда можно заключить, что величина

не обращается в нуль ни в одной точке интервала Действительно, в противном случае в некоторой точке этого интервала были бы справедливы равенства

а это невозможно в силу условия (7).

Так как величина (10) во всём интервале отлична от нуля, то по теореме о неявных функциях первое из уравнений (9) определяет во всём интервале для всех достаточно малых дважды непрерывно дифференцируемую функцию и, значит, для всех достаточно малых уравнения (9) можно привести к обычному виду:

где вектор-функция имеет непрерывные производные второго порядка и удовлетворяет условиям

Кривая (9) является отображением кривой (8) и при достаточно малом лежит в сколь угодно малой слабой окрестности кривой

Введём теперь функцию

которую можно представить также в виде

Из этих представлений следует, что, во-первых,

и, во-вторых,

Так как при любом

то

Поэтому после интегрирования по частям первое представление величины принимает вид

и, значит, так как удовлетворяет уравнениям Эйлера - Лагранжа для исходного функционала. Следовательно, в силу второго представления,

Здесь есть произвольная дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция, равная нулю на концах интервала. Интегрируя по частям и повторяя рассуждения найдём, что

где — константы. Отсюда вытекают соотношения

которые и показывают, что удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа для преобразованного функционала.

Заметим, что после получения соотношения (11) не обязательно повторять рассуждения , а можно поступить иначе.

А именно, так как по условию имеет непрерывную вторую производную, то в (11) можно произвести другое интегрирование по частям, которое приведёт к равенству

где — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, равные нулю на концах интервала . Что отсюда вытекает равенство нулю всех величин

показывает следующая

Лемма Лагранжа. Если — непрерывная функция в интервале и если

для любой раз непрерывно дифференцируемой функции равной нулю на концах интервала вместе со всеми производными до порядка включительно, то .

Для доказательства леммы Лагранжа допустим противное и примем, что в некоторой точке интервала . В силу непрерывности функции можно указать такой подинтервал , в котором функция не обращается в нуль. Теперь положим

Функция очевидно, раз непрерывно дифференцируема в интервале и вместе со всеми своими производными до (даже до ) порядка включительно обращается в нуль на концах интервала .

Поэтому

Противоречие получено, и лемма доказана.