Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5. Инвариантность уравнений Эйлера—Лагранжа.Подвергнем независимую переменную
При этом мы должны предположить, что Полагая для удобства
преобразуем с помощью (1) функционал
в функционал
где
При этом краевые условия
переходят в
Необходимо заметить, что подинтегральная функция Положим теперь, что вектор-функция
которая условиям (5), очевидно, удовлетворяет. Но будет ли вектор-функция С этой целью возьмём произвольную кусочно-гладкую вектор-функцию
Затем возьмём функцию
которую можно представить также в виде
Учитывая, что
Отсюда, как и в Покажем, что при некоторых условиях инвариантность уравнений Эйлера — Лагранжа имеет место и для преобразований общего вида, в которых участвует не только независимая переменная Пусть такое преобразование задаётся формулами
Мы примем, что эти формулы определяют трижды непрерывно дифференцируемое и взаимно однозначное отображение некоторой области Н пространства
Рассматривая функционал (2) при краевых условиях (4), будем теперь предполагать, что точки
лежащих в области
Так как функции (6) предполагаются трижды непрерывно дифференцируемыми, то, как нетрудно проверить, функция Пусть кривая
удовлетворяющая уравнениям Эйлера — Лагранжа для функционала (2) и краевым условиям (4) и лежащая в области G, является отображением кривой
Мы докажем, что вектор-функция Приступая к доказательству, возьмём в интервале
Эта, зависящая от параметра е, кривая переходит при преобразовании (6) в кривую с параметрическими уравнениями
При
Следовательно,
Отсюда можно заключить, что величина
не обращается в нуль ни в одной точке интервала
а это невозможно в силу условия (7). Так как величина (10) во всём интервале
где вектор-функция
Кривая (9) является отображением кривой (8) и при достаточно малом
Введём теперь функцию
которую можно представить также в виде
Из этих представлений следует, что, во-первых,
и, во-вторых,
Так как при любом
то
Поэтому после интегрирования по частям первое представление величины
и, значит,
Здесь
где
которые и показывают, что Заметим, что после получения соотношения (11) не обязательно повторять рассуждения А именно, так как
где
показывает следующая Лемма Лагранжа. Если
для любой Для доказательства леммы Лагранжа допустим противное и примем, что в некоторой точке интервала
Функция Поэтому
Противоречие получено, и лемма доказана.
|
1 |
Оглавление
|