Главная > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение.

Определение 1. Плоскость, проходящая через касательную прямую и главную нормаль к заданной кривой в точке А, называется соприкасающейся плоскостью в точке А.

Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью кривой. Если же кривая не плоская, то, взяв на ней две точки мы получим две различные соприкасающиеся плоскости, образующие между собой двугранный угол

Чем больше угол тем сильнее кривая по своей форме отличается от плоской кривой. Для того чтобы это уточнить, введем еще одно определение.

Определение 2. Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

Возьмем на бинормали единичный вектор b и направим его так, чтобы вектор образовывали тройку той же ориентации, что и единичные векторы i, j, k, лежащие на осях координат (рис. 204, 205).

Рис. 204.

Рис. 205.

В силу определения векторного и скалярного произведений векторов имеем

Найдем производную По формуле (V) § 3

Но поэтому , и формула (2) принимает вид

Отсюда следует (на основании определения векторного произведения), что есть вектор, перпендикулярный к вектору касательной . С другой стороны, так как b — единичый вектор, то перпендикулярен к b (см. § 3, следствие).

Значит, вектор перпендикулярен и и , т. е. коллинеарен вектору .

Обозначим длину вектора через , т. е. положим тогда

Величина называется кручением данной кривой.

Двугранный угол между соприкасающимися плоскостями, соответствующими двум точкам кривой, равен углу между бинормалями. По аналогии с формулой (4) § 4 можно написать

Итак, кручение кривой в точке А по абсолютной величине равно пределу, к которому стремится отношение угла между соприкасающимися плоскостями в точке А и соседней точке В к длине дуги АВ, когда

Если кривая плоская, то соприкасающаяся плоскость не меняет своего направления и, следовательно, кручение равно нулю.

Из определения кручения ясно, что оно является мерой отклонения пространственной кривой от плоской кривой. Величина Т называется радиусом кручения кривой.

Найдем формулу для вычисления кручения. Из формул (3) и (4) следует

Умножив скалярно обе части на , будем иметь

В правой части последнего равенства мы получили так называемое смешанное (или тройное) произведение трех векторов . В таком произведении, как известно, можно переставлять сомножители в круговом порядке. Учитывая, кроме того, что мы перепишем последнее равенство в следующем виде:

или

Но так как

и

а так как векторное произведение вектора на самого себя равно нулю, то

Таким образом,

Заметив, что и возвращаясь к равенству (5), получаем

Если вектор выражен как функция произвольного параметра то можно показать аналогично тому, как это делалось в предыдущем параграфе, что

Подставляя это выражение в формулу (6) и заменяя его выражением по формуле (11) § 4, окончательно получаем

Эта формула дает возможность вычислить кручение кривой в любой точке, если кривая задана параметрическими уравнениями с произвольным параметром

В заключение этого параграфа отметим, что формулы, выражающие производные векторов , называются формулами Серре — Френе:

Последняя из них получается так:

но

поэтому

Пример. Вычислить кручение винтовой линии

Решение.

Следовательно,

1
Оглавление
email@scask.ru