§ 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение.

Определение 1. Плоскость, проходящая через касательную прямую и главную нормаль к заданной кривой в точке А, называется соприкасающейся плоскостью в точке А.

Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью кривой. Если же кривая не плоская, то, взяв на ней две точки мы получим две различные соприкасающиеся плоскости, образующие между собой двугранный угол

Чем больше угол тем сильнее кривая по своей форме отличается от плоской кривой. Для того чтобы это уточнить, введем еще одно определение.

Определение 2. Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

Возьмем на бинормали единичный вектор b и направим его так, чтобы вектор образовывали тройку той же ориентации, что и единичные векторы i, j, k, лежащие на осях координат (рис. 204, 205).

Рис. 204.

Рис. 205.

В силу определения векторного и скалярного произведений векторов имеем

Найдем производную По формуле (V) § 3

Но поэтому , и формула (2) принимает вид

Отсюда следует (на основании определения векторного произведения), что есть вектор, перпендикулярный к вектору касательной . С другой стороны, так как b — единичый вектор, то перпендикулярен к b (см. § 3, следствие).

Значит, вектор перпендикулярен и и , т. е. коллинеарен вектору .

Обозначим длину вектора через , т. е. положим тогда

Величина называется кручением данной кривой.

Двугранный угол между соприкасающимися плоскостями, соответствующими двум точкам кривой, равен углу между бинормалями. По аналогии с формулой (4) § 4 можно написать

Итак, кручение кривой в точке А по абсолютной величине равно пределу, к которому стремится отношение угла между соприкасающимися плоскостями в точке А и соседней точке В к длине дуги АВ, когда

Если кривая плоская, то соприкасающаяся плоскость не меняет своего направления и, следовательно, кручение равно нулю.

Из определения кручения ясно, что оно является мерой отклонения пространственной кривой от плоской кривой. Величина Т называется радиусом кручения кривой.

Найдем формулу для вычисления кручения. Из формул (3) и (4) следует

Умножив скалярно обе части на , будем иметь

В правой части последнего равенства мы получили так называемое смешанное (или тройное) произведение трех векторов . В таком произведении, как известно, можно переставлять сомножители в круговом порядке. Учитывая, кроме того, что мы перепишем последнее равенство в следующем виде:

или

Но так как

и

а так как векторное произведение вектора на самого себя равно нулю, то

Таким образом,

Заметив, что и возвращаясь к равенству (5), получаем

Если вектор выражен как функция произвольного параметра то можно показать аналогично тому, как это делалось в предыдущем параграфе, что

Подставляя это выражение в формулу (6) и заменяя его выражением по формуле (11) § 4, окончательно получаем

Эта формула дает возможность вычислить кручение кривой в любой точке, если кривая задана параметрическими уравнениями с произвольным параметром

В заключение этого параграфа отметим, что формулы, выражающие производные векторов , называются формулами Серре — Френе:

Последняя из них получается так:

но

поэтому

Пример. Вычислить кручение винтовой линии

Решение.

Следовательно,